Espiral de Ulam

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A espiral de Ulam. Os pontos vermelhos representam números primos; os pontos azuis representam números compostos, com o tamanho do ponto indicando o nível de composição. (clique na imagem para ampliar)

A Espiral de Ulam, ou Espiral dos Primos, é um método simples de representar os números primos por intermédio de um grafo e que revela um padrão que permanece por explicar. Foi descoberta pelo matemático Stanislaw Ulam em 1963, enquanto rabiscava distraidamente num papel por estar entediado durante um encontro científico.[1] Ulam, aborrecido, desenhou um grafo com números, começando com o 1 no centro e prosseguindo, em espiral, para o exterior:

Números de 1 a 5 em espiral

Então, assinalou todos os primos e obteve a seguinte figura:

Espiral de Ulam (pequena)

Verificou, surpreendido, que os números assinalados tendiam a agrupar-se segundo diagonais. A imagem abaixo é de uma Espiral de Ulam 200×200, onde os números primos estão assinalados a preto. As diagonais são perfeitamente visíveis, confirmando o padrão.[2]

Espiral de Ulam (200×200)

Todos os números primos, excepto o 2, são ímpares. Como na Espiral de Ulam as diagonais adjacentes são, alternadamente, pares e ímpares, é normal que todos os números primos estejam em diagonais alternadas. No entanto, é curiosa a tendência de certas diagonais terem mais números primos do que outras.[3]

Até agora, os testes confirmaram que há diagonais mesmo quando se representa uma quantidade muito grande de números. O padrão também parece manter-se mesmo que o número do centro não seja 1 (pode ser muito maior que 1). Isto implica que há várias constantes inteiras b e c tais que a função:

f(n) = 4 n^2 + b n + c

gera uma quantidade de números primos (com n = 1, 2, 3, ...) que é grande comparada com a proporção de números primos entre números de magnitude semelhante. Esta descoberta foi tão significativa que a Espiral de Ulam apareceu na capa da Scientific American em Março de 1964.

A uma distância suficiente do centro, também são perfeitamente visíveis linhas horizontais e verticais.

Variantes[editar | editar código-fonte]

Outras variantes da Espiral de Ulam, como a Espiral de Sacks, também têm padrões que estão por explicar.

Referências

  1. Gardner, M. (March 1964), "Mathematical Games: The Remarkable Lore of the Prime Numbers", Scientific American 210: 120–128, http://www.scientificamerican.com/article/mathematical-games-1964-03/ 
  2. Stein, M. and Ulam, S. M. (1967), An Observation on the Distribution of Primes. American Mathematical Monthly 74, 43-44. doi:10.2307/2314055 ISSN 0002-9890 (em inglês)
  3. * Stein, M. L.; Ulam, S. M.; and Wells, M. B. (1964), A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes. American Mathematical Monthly 71, 516-520. doi:10.2307/2312588 ISSN 0002-9890 (em inglês)
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