Estrutura fina

Estrutura fina do hidrogênio: influência da quebra de degenerecência do nível de energia n = 2 na linha α-Lyman.

Em física atômica, a estrutura fina da raia espectral de um átomo corresponde ao seu desdobramento (separação) em outras linhas de frequências próximas, detectáveis através de um espectroscópio de boa resolução.

Esta estrutura pode ser explicada através da física quântica; devido a quebra parcial da degenerecência de um nível de energia do modelo de Bohr em resultado a três tipos de correções:

• o acomplamento do momento magnético de spin do elétron com campo magnético gerado por seu movimento (momento magnético orbital);
• a consideração do movimento relativístico do elétron;
• O efeito zitterbewegung.

A descoberta da estrutura fina do átomo de hidrogênio concedeu o Nobel de Física à Willis Eugene Lamb em 1955.

Estruturas de nível fino podem ser desdobradas também devido a interação com o momento magnético do núcleo (estrutura hiperfina).

Correção relativística escalar

Classicamente, o temo da energia cinética é:

$T=\frac{p^{2}}{2m}$

Entretanto, quando consideramos a relatividade especial, devemos utilizar a forma relativística da energia cinética,

$T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2}$

onde o primeiro termo é a energia relativística total, e o segundo termo a energia de repouso do elétron. Expandindo a expressão encontramos:

$T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots$

Então, a correção de primeira ordem ao Hamiltoniano é

$H'=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}$

Utilizando isso como uma perturbação, podemos calcular as correções de energia de primeira ordem devido aos efeitos relativísticos.

$E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

onde $\psi^{0}$ é a função de onda não perturbada. Retornando ao Hamiltoniano não perturbado, vemos que

$H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle$

$\left(\frac{p^{2}}{2m}-V\right)\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle$

$p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-V)\vert\psi^{0}\rangle$

Podemos utilizar esse resultado para calcular também a correção relativística:

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle )$

Para o átomo de hidrogênio, $V=\frac{e^{2}}{r}$, $\langle V\rangle=\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}}$, and $\langle V^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}$ onde $a_{0}$ é o raio de Bohr, $n$ é o número quântico principal e $l$ é o número quântico azimutal. Assim, a correção para o átomo de hidrogênio é

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)$

Ver também

• Constante de estrutura fina

Referência

• Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). [S.l.]: Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X
• Liboff, Richard L.. Introductory Quantum Mechanics. [S.l.]: Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5

Ligações externas

• Hyperphysics: Fine Structure