Exponencial matricial

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Em matemática, a exponencial matricial é uma função matricial definida no conjunto das matrizes quadradas e possui propriedades semelhantes função exponencial definida nos números reais (ou complexos). Mais abstratamente falando a exponencial matricial estabelece uma conexão entre a álgebra de Lie das matrizes e o seu correspondente grupo de Lie.

Seja A\, uma matriz real ou complexa n\times n\,, define-se e^A=\exp(A)\, pela seguinte série de potências:

e^A:=I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!}\,, onde I\, é a matriz identidade

A convergência desta série é garantida pelo teste M de Weierstrass.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam A\, e B\, matrizes quadradas n\times n\, e a\, e b\, números reais ou complexos arbitrários. Denotamos por I\, a matriz identidade n\times n\, e por O\, a matriz nula de mesmas dimensões. A^*\, indica a matriz transposta conjugada de A\, e A^T\, denota a matriz transposta de A\,. São válidas as seguintes propriedades:

Exemplo no cálculo da exponencial de uma matriz[editar | editar código-fonte]

Imaginemos que queremos calcular e^{A} sabendo que

A=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0 \end{bmatrix}

Calculemos A^{2}, A^{3} ...  A^{n}

A^{2}=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
0 & 0 \end{bmatrix}, 
A^{3}=A^{2}A=\begin{bmatrix}
8 & 4 \\
0 & 0 \end{bmatrix}
A^{n}=\begin{bmatrix}
2^{n} & 2^{n-1} \\
0 & 0 \end{bmatrix}, n\neq0

Sabemos então que

e^A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}
e^A=I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!} = I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\begin{bmatrix}
2^{n} & 2^{n-1} \\
0 & 0 \end{bmatrix}=
= I+\begin{bmatrix}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{n!} \\
0 & 0 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} \\
0 & 1 \end{bmatrix}
e^A=\begin{bmatrix}
e^2 & \frac{1}{2}(e^2-1) \\
0 & 1 \end{bmatrix}

Equações diferenciais ordinárias lineares[editar | editar código-fonte]

Um problema de valor inicial para um sistema de equações diferencias ordinárias lineares homogênias com coeficientes constantes pode ser escrito na forma matricial:

\left\{\begin{array}{ll}\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t)\\y(t_o)=y_o\end{array}\right.\,

onde a incógnita y(t)\, é um vetor de dimensão n\, que depende do tempo, y_0\, é a condição inicial e A\, é uma matriz n\times n\,. A solução deste sistema é dada por:

y(t)=e^{A(t-t_0)}y_0\,

A matriz E(s)\, definida como e^{sA}\, pode ser interpretada como operador que associa cada condição inicial y_0\, à solução do sistema de equações no instante t_0+s\,.

A exponencial matricial também pode ser usada para resolver o problema não-homogêcio associado

\left\{\begin{array}{ll}\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t)+f(t)\\y(t_o)=y_o\end{array}\right.\,

pelo método de variação de parâmetros, ou seja, busca-se por soluções da forma:

y(t)=e^{A(t-t_0)}z(t)\,

Substituindo esta expressão na equação diferencial, temos:

Ae^{A(t-t_0)}z(t)+e^{A(t-t_0)}\frac{d}{dt}z(t)=Ae^{A(t-t_0)}z(t)+f(t)\,

ou, resolvendo para z(t)\,:

\frac{d}{dt}z(t)=e^{-A(t-t_0)}f(t)\,

trocando t\, por s\, e integrando em [t_0,t]\,, temos:

z(t)=z(t_0)+\int_{t_0}^te^{-A(s-t_0)}f(s)ds\,

e, finalmente:

y(t)=e^{A(t-t_0)}y_0+\int_{t_0}^te^{A(t-s)}f(s)ds\,