Extensão de grupo

Em matemática, uma Extensão de grupo é uma descrição de um grupo em termos de um subgrupo normal e grupo quociente particular. Se $Q$ e $N$ são dois grupos, então $G$ é uma extensão de $Q$ por $N$ se existe uma sucessão exata.

$1\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow Q\rightarrow 1. \,\!$

Se $G$ é uma extensão de $Q$ por $N$, então $G$ é um grupo, $N$ é um subgrupo normal de $G$ e o grupo quociente $Q \div N$ é isomorfico para o grupo $Q$. Extensão de grupo advem do contexto do problema extensão, onde os grupos $Q$ e $N$ são conhecidos e as propriedades de $G$ são determinadas.

Extensão no geral

Numa extensão, o produto direto de grupos é facilmente deduzido. Se quisermos que $G$ e $Q$ sejam grupos abelianos, então o conjunto das classes isomorficas da extensão de $Q$ por um dado grupo $N$ é de fato um grupo, que será isomorfico para $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N)$ (veja Ext). Diversas outras classes de extensões são conhecidas, mas não há teoria que consiga tratar todos os possíveis casos de extensão de uma única forma.

Como por exemplo. Se tivermos $G = H \times K$, então $G$ é uma extensão de ambos $H$ e $K$. De forma mais geral, se $G$ é um produto semidireto de $K$ e $H$, então $G$ é uma extensão de $H$ por $K$.

Ver também

• Extensão algébrica
• Extensão de corpo

Leitura recomendada

• Mac Lane, Saunders. Homology. [S.l.]: Springer Verlag, 1975. 3-540-58662-8
• Taylor, R.L.. Covering groups of non connected topological groups. [S.l.: s.n.], 1954. 753-768
• Brown, R.. Covering groups of non-connected topological groups revisited. [S.l.: s.n.], 1994. 115 (1994) 97-110
• Janeldze, G.. Central extensions in Malt'sev varieties. [S.l.: s.n.], 2000. 7 (2000) 219-226