Fórmula de De Moivre

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A fórmula de De Moivre afirma que1 :

(\cos x+i\mathrm{sen}\,x)^n=\cos(nx)+i\mathrm{sen}\,(nx) \, \forall x \in \real \and \forall n \in Z

Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre números complexos (i é a unidade imaginária) com a trigonometria. A expressão:

\cos\left ( x \right ) + i \mathrm{sen}\,\left ( x \right )

é frequentemente abreviada por:

\mathrm{cis}\left( x \right).

ainda que a fórmula de Euler seja uma maneira mais comum de a descrever.

Abraham de Moivre foi amigo de Newton; em 1698 este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde 1676.

A fórmula de De Moivre pode ser obtida da fórmula de Euler:

e^{ix} = \cos\left ( x \right ) + i \mathrm{sen}\,\left ( x \right )

embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral1 :

(|z|(\cos x+i\mathrm{sen} x))^n=|z|^n \left( \cos(nx)+i\mathrm{sen}(nx) \right)\, \forall x \in \real \and \forall n \in Z

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Vamos demonstrar2 a fórmula para n \in \mathbb{N} por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler. Queremos provar que

z^n=(|z|(\cos x+i\mathrm{sen} x))^n=|z|^n \left( \cos(nx)+i\mathrm{sen}(nx) \right).\, \forall x \in \real, n \in \mathbb{N}
e com z sendo um número complexo.

Para n = 1 a identidade é verdadeira, pois tem-se z = |z| \left( \cos x + i \sin x \right), que é a representação na forma polar de um número complexo (com r=|z| e \theta=x).

Suponhamos agora que a propriedade se verifica para n = k e provemos que também o é para n=k+1. Temos:


z^{k+1}=z z^k = |z|^{k+1} \left( \cos x \cos (kx) + i (\cos x \sin (kx) +  \sin x \cos (kx)) - \sin x \sin (kx) \right) = |z|^{k+1} \left( \cos(x(k+1)) + i \sin\left(k(x+1)\right)\right)

Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b e \sin (a + b) = \cos a \sin b + \sin a \cos b.

Queremos agora generalizar para n \in \mathbb{Z}. Para n=0 a propriedade é imediata se convencionarmos z^0 = 1

Consideremos m = -n \in \mathbb{N}. Então:

z^n = (z^{-1})^m = \frac{1}{|z|^m} \left( \cos -x + i \sin -x\right)^m

Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente. Repare-se que agora estamos perante -x e não x. Agora:


\frac{1}{|z|^m}\left( \cos -x + i \sin -x\right)^m = |z|^{-m} \left( \cos -mx + i sin -mx \right)

Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como n é negativo, m é positivo (natural).

Substituindo de volta por n = -m:

z^n = |z|^n \left( \cos nx + i \sin nx \right), \forall n \in \mathbb{Z} , Q.E.D.

Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para |z|=1

Referências

  1. a b BROWN, J. W.; RUEL, C. V. (2003). Complex Variables and Applications (7.ª edição). McGraw-Hill Science Engineering ISBN 9780072872521. Páginas 18 a 21.
  2. A demonstração segue em grande parte a demonstração da referência anterior, ainda que seja ligeiramente diferente para evitar recorrer demasiado à fórmula de Euler.