Fórmula de Haversine

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A fórmula de Haversine é uma importante equação usada em navegação, fornecendo distâncias entre dois pontos de uma esfera a partir de suas latitudes e longitudes. É um caso especial de uma fórmula mais geral de trigonometria esférica, a lei dos Haversines, relacionando os lados a ângulos de uma esfera "triangular".

Estes nomes se devem ao fato de que são escritos nos termos da função de haversine , dado por um haversin(θ) = seno²(θ/2). (As fórmulas pode ser também escritas em termos de um múltiplo do Haversine, como função anterior versine (duas vezes o Haversine). Historicamente o Haversine tem talvez a ligeira vantagem de seu máximo ser um, então tabelas logarítmicas de seus valores terminam em zero. Hoje a fórmula de Haversine é também conveniente pelo fato de não ter coeficiente da função seno²

A fórmula de Haversine[editar | editar código-fonte]

Dois pontos de uma esfera (de raio R) com latitudes φ1 e φ2, separação de latitude Δφ = φ1 − φ2, e separação de longitude Δλ, onde os ângulos são em radianos, a distância d entre dois pontos (entre um círculo maior) da esfera) é relacionada as suas localizações pela fórmula :

(a fórmula de Haversine)
\operatorname{haversin}\left(\frac{d}{R}\right) = \operatorname{haversin}(\Delta\phi) + \cos(\phi_1) \cos(\phi_2) \  \operatorname{haversin}(\Delta\lambda)

Onde h denota Haversine (d/R), dado acima. Podemos obter d tanto pela simples aplicação da Haversine inversa, quanto pelo uso do função arcosseno (inverso do seno).

d = R \, \operatorname{haversin}^{-1}(h) = 2 R \arcsin\left(\sqrt{h}\,\right)

Antes da era do computador, o uso de detalhadas tabelas impressas do haversine/inversa-haversine e de seus logaritmos (auxiliando as multiplicações) salvou navegadores de elevar senos ao quadrado, calcular raízes quadradas etc , um processo tanto árduo quanto factível de aumentar pequenos erros.

Quando usamos estas fórmulas, devemos ter cuidado de assegurar que h não seja maior que 1. h só se aproxima de 1 pelo ponto antipodal (o lado oposto da esfera) )—nesta região um número relativo grande de erros tende a ocorrer na fórmula quando uma precisão finita é usada.Entretanto , como d e maior que (aproximando-se de πR, metade da circunferência) pequenos erros não causam preocupação num uso comum (A fórmula acima é algumas vezes escrita em termos da função arcotangente, mas sofre problemas similares quando fica próxima de h = 1).

Como descrita anteriormente uma fórmula similar pode ser escrita em termos de co-senos (algumas vezes chamada de lei esférica dos co-senos, não confundir com a lei dos co-senos da geometria plana) ao invés de haversines, mas sofre problemas de precisão para casos comuns de pequenas distâncias e ângulos o que reduz seu uso seriamente.

Esta fórmula é só uma aproximação quando aplicada à Terra, porque esta não é uma esfera perfeita: seu raio varia de 6356,78 km nos pólos até 6378,14 km no equador. Estas pequenas correções, na ordem de 0,1% (supondo R = 6367,45 km) são usadas em todo lugar, devido a leve forma elipsoide do nosso planeta.

A lei dos Haversines[editar | editar código-fonte]

Dada uma esfera , um a "triângulo" em sua superfície é definido pelo maior círculo conectando três pontos u, v, and w na esfera.Se o comprimento deste três lados forem are a (de u até v), b (de u até w), e c (de v até w), e o ângulo do canto oposto c é C , então a lei dos haversines estabelece que :

(the law of haversines)
\operatorname{haversin}(c) = \operatorname{haversin}(a - b) + \sin(a) \sin(b) \, \operatorname{haversin}(C)

Desde que é uma esfera única, os comprimentos de a, b, e c são simplesmente iguais aos ângulos em radianos subentendidos por estes lados do centro da esfera (para esferas não únicas, são as distâncias divididas pelo raio).

Spherical triangle solved by the law of haversines.

Para se obter o fórmula haversine da secção previa da sua lei, consideramos um caso especial quando u é o Pólo Norte Geográfico , enquanto v e w são pontos em que a separação d se quer determinar.Neste caso , a e b são π/2 - φ1,2 (i.e., 90&º;− latitude), C é separação de longitude Δλ,e c é o desejado d/R.Nada que seno(π/2 - φ) = cos(φ),a fórmula haversine imediatamente não forneça.

Para obter a lei dos Haversines, devemos com a lei esférica dos co-senos :

(spherical law of cosines)
\cos(c) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) \cos(C) \,

Como mencionado acima, esta fórmula é contra-indicada para resolver c quando este é pequeno. Substituímos a igualdade cos(θ) = 1 −2 haversin(θ), e também empregamos a igualdade trigonométrica adição e subtração cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sen(b) para obter a lei dos haversines acima.

Referências gerais[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]