Fórmula de Landau-Zener

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Cruzamento evitado mostrando o perfil dos valores próprios de um hamiltoniano de um sistema de dois níveis em função de uma coordenada z. Os valores próprios (energia dos estados adiabáticos) seguem um perfil hiperbólico, em que a energia dos estados diabáticos são assímptotas com uma evolução linear em z.

A formula de Landau–Zener é uma expressão matemática para a probabilidade de transição entre dois níveis de energia numa situação de cruzamento evitado. Corresponde a uma solução analítica das equações de movimento que regem a dinâmica de um sistema mecânico quântico de 2-níveis de energia, com um hamiltoniano dependente do tempo variando de tal forma que a separação de energia dos dois estados (diabáticos) é uma função linear do tempo, e o acoplamento entre esses dois estados é constante. A fórmula foi publicada separadamente por Lev Landau,[1] Clarence Zener,[2] Ernst Stueckelberg,[3] and Ettore Majorana,[4] em 1932.

Fórmula de Landau-Zener[editar | editar código-fonte]

A fórmula de Landau-Zener tem tido um papel central na descrição de efeitos não-adiabáticos (envolvendo mais do que um estado electrónico) em colisões atómicas e moleculares [5] em particular, e efeitos não-adiabáticos na química e física molecular em geral [6] . Neste contexto, considera-se que o sistema se move com uma velocidade constante v e que a variação ao longo da coordenada z dos níveis de energia do sistema é uma hipérbole. A probabilidade de um sistema que começa num dos níveis de energia terminar no outro nível de energia depois de atravessar o centro da hipérbole em zc, em que o intervalo que separa os dois níveis de energia é menor, é dada pela fórmula de Landau-Zener

p_{LZ}=exp\left(-\frac{\pi^2 \Delta V^2}{h \Delta F v}\right),

em que ΔV é a diferença energética dos dois níveis no ponto zc, ΔF é a diferença do declive das assimptotas da hipérbole e h é a constante de Planck.

A fórmula de Landau-Zener fornece resultados razoáveis quando a energia cinética do sistema é elevada, mas sobretudo é um modelo paradigmático para racionalizar efeitos não-adiabáticos [7] .


Fórmula de Stueckelberg[editar | editar código-fonte]

Numa colisão atómica ou molecular os sistema atravessa a região de interacção duas vezes.

Numa colisão atómica ou molecular, o sistema atravessa por duas vezes a região zc em que a energia dos dois níveis se aproxima. A probabilidade de um sistema que se encontra num determinado nível de energia antes da colisão e terminar num outro após a colisão, foi determinada por Stueckelberg [3]

p_S=4 p_{LZ}(1-p_{LZ})\sin^2(\Phi+\varphi),

em que pLZ é a probabilidade de transição numa passagem dada pela fórmula da Landau-Zener, Φ é a diferença de fases acumulada pela função de onda do sistema entre as duas passagens por zc, e φ é uma fase dinâmica que tende para φ=π/4 no limite de velocidades elevadas [7] .

Notas[editar | editar código-fonte]

  • A equação publicada por Landau [1] continha um erro de 2π no expoente [2] .
  • Enquanto os outros autores derivaram a fórmula no contexto de colisões atómicas ou moleculares, Majorana estudava o comportamento de átomos em campos magnéticos variáveis [4] .
  • Recentemente, uma dedução alternativa da fórmula de Landau-Zener foi proposta por Wittig [8] .


Referências

  1. a b L. D. Landau. (1932). "Zur Theorie der Energieübertragung. II". Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 2: 46–51 pp.. Tradução para ingês disponível em In: D. ter Haar. Collected papers of L. D. Landau. [S.l.]: Pergamon Press, 1965. ISBN 0677205503 ou D. ter Haar. Men of Physics: L. D. Landau II. [S.l.]: Pergamon Press, 1969. ISBN 0080064515
  2. a b C. Zener. (1932). "Non-adiabatic Crossing of Energy Levels". Proceedings of the Royal Society of London A 137 (6): 696–702 pp.. DOI:10.1098/rspa.1932.0165. Bibcode1932RSPSA.137..696Z.
  3. a b E. C. G. Stueckelberg. (1932). "Theorie der unelastischen Stösse zwischen Atomen". Helvetica Physica Acta 5: 369-422 pp.. DOI:10.5169/seals-110177.
  4. a b E. Majorana. (1932). "Atomi orientati in campo magnetico variabile". Nuovo Cimento 9 (2): 43–50 pp.. DOI:10.1007/BF02960953.
  5. Child, Mark. Molecular Collision Theory. [S.l.]: Dover Publications, 1996. ISBN 0486694372
  6. Y. Kayanuma. (2007). "Landau-Zener formula revived in nano physics". Applied and Computational Mathematics 6 (2): 143–161 pp.. ISSN 1683-3511.
  7. a b E. E. Nikitin. (1999). "Nonadiabatic Transitions: What We Learned from Old Masters and How Much We Owe Them". Annual Review of Physical Chemistry 50: 1–21 pp.. DOI:10.1146/annurev.physchem.50.1.1.
  8. C. Wittig. (2005). "The Landau-Zener Formula". Journal of Physical Chemistry B 109 (17): 8428–8430 pp.. DOI:10.1021/jp040627u.

Ver também[editar | editar código-fonte]