Fórmula do termo geral

Seja $\{ a_n \}$ uma seqüência matemática cujo termo geral é bem definido (dado em função dos termos anteriores, através de outra sequência, ou através de uma alogarítimo). A fórmula do termo geral, quando existe, é uma fórmula explícita em n que permite calcular $a_n = f(n)$.

O termo geral de uma seqüencia é a lei de formação desta que define qualquer um dos seus termos. O termo geral é uma função em $n$, associando o número do termo na seqüencia ao seu valor.

O termo geral pode ser usado também como fórmula para interpolação de termos.

• Exemplo: Em $a_3=7$, $3$ é o número do termo e $7$ é seu valor.

PA e PG

• Uma progressão aritmética (PA) é definida através da lei recursiva $a_{n+1} = a_n + r$. A fórmula do termo geral da PA é $a_n = a_1 + r \times (n-1)$.
• Uma progressão geométrica (PG) é definida através da fórmula $a_{n+1}=a_n \times q$. A fórmula do termo geral da progressão geométrica é $a_n = a_1 \times q^{n-1}$.

Somatório e Produtório

Seja $\{ a_n \}$ uma sequência qualquer, e sejam $S_n = a_1 + \ldots + a_n$ e $P_n = a_1 . \ldots . a_n$, respectivamente, a soma e o produto dos termos da sequência. Em alguns casos (soma de PA, soma de PG ou produto de PG), é possível determinar uma fórmula do termo geral, mas em outros (produto de PA) essa fórmula não é possível (nesse caso, usa-se a notação fatorial, ou a função gama).

Somatório da PA

O somatório da PA pode ser obtido somando o próprio somatório (com os seus termos em ordem crescente) com ele mesmo (com seus termos em ordem decrescente).Mas a PA não é utilizada como progressão somente uma alusão a progressão geometrica. Assim, cada soma entre os dois somatórios será $a_1 + a_n$ (uma vez que os termos estão em PA), que deverá ser multiplicado pelo número de termos ($n$) e dividido por dois, uma vez que somou-se o somatório duas vezes. Portanto:

$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + \ldots + a_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2}$

Produtório da PG

$\prod_{i=1}^{n} a_{i} = a_1 . \ldots . a_n = {(a_1 \times a_n)^{n/2}}$