Fator automórfico

Em matemática, um fator automórfico é um certo tipo de função analítica, definida sobre subgrupos de SL₂(R), aparecendo na teoria de formas modulares. O caso geral, para grupos gerais, é apresentado no artigo 'fator de automorfia'.

Definição

Um fator automórfico de peso k é uma função

$\nu:\Gamma \times \mathbb{H} \to \mathbb{C}$

satisfazendo as quatro propriedades dadas abaixo. Aqui, a notação $\mathbb{H}$ e $\mathbb{C}$ refere-se ao meio plano superior e ao plano complexo, respectivamente. A notação $\Gamma$ é um subgrupo de SL(2,R), tal como, por exemplo, um grupo fuchsiano. Um elemento $\gamma\in\Gamma$ é uma matriz 2x2

$\gamma=\left[\begin{matrix}a&b \\c & d\end{matrix}\right]$

com $a,b,c,d$ números reais, satisfazendo $ad-bc=1$.

Um fator automórfico deve satisfazer:

1. Para um determinado $\gamma\in\Gamma$, a função $\nu(\gamma,z)$ é uma função holomorfa de $z\in\mathbb{H}$.

2. Para todo $z\in\mathbb{H}$ e $\gamma\in\Gamma$, tem-se

$\vert\nu(\gamma,z)\vert=\vert cz+d\vert^k$

para um determinado número real k.

3. Para todo $z\in\mathbb{H}$ e $\gamma,\delta\in\Gamma$, tem-se

$\nu(\gamma\delta,z)=\nu(\gamma,\delta z)\nu(\delta,z)$

Aqui, $\delta z$ é a transformação de Möbius, ou transformação linear fracional de $z$ por $\delta$.

4.Se $-I\in\Gamma$, então para todo $z\in\mathbb{H}$ e $\gamma\in\Gamma$, tem-se

$\nu(-\gamma,z)=\nu(\gamma,z)$

Aqui, I denota a matriz identidade.

Propriedades

Cada fator automórfico pode ser escrito como

$\nu(\gamma, z)=\upsilon(\gamma) (cz+d)^k$

com

$\vert\upsilon(\gamma)\vert = 1$

A função $\upsilon:\Gamma\to S^1$ é chamada um sistema multiplicador. Claramente,

$\upsilon(I)=1$,

enquanto, se $-I\in\Gamma$, então

$\upsilon(-I)=e^{-i\pi k}$

Desenvolvimentos

São estudados fatores automórficos de grau n de variedade complexa ou de uma superfície de Riemann compacta.

Referências

• Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (O capítulo 3 é inteiramente dedicado a fatores automórficos para o grupo modular.)