Fator de automorfia

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Em matemática, a noção de fator de automorfia surge de uma acção de grupo sobre uma variedade analítica complexa. Supondo-se um grupo G atuando sobre uma variedade analítica complexa X. Então, G também atua sobre o espaço de funções holomórficas de X para os números complexos. Uma função f é denominada uma forma automórfica se a seguinte condição:

\, f(g.x) = j_g(x)f(x)

onde j_g(x) é em qualquer posição função holomórfica não nula. Equivalentemente, uma forma automórfica é uma função onde o divisor é invariante sob a ação de G.

O fator de automorfia para a forma automórfica f é a função j. Uma função automórfica é uma forma automórfica para a qual j é a identidade.

Algumas notas sobre fatores de automorfia:

  • Qualquer fator de automorfia é um cociclo para a ação de G sobre o multiplicativo grupo de qualquer posição de funções holomórficas não nulas.
  • O fator de automorfia é um complexo de cadeias se e somente se origina-se de uma forma automórfica não nula em qualquer posição.
  • Para um dado fator de automorfia, o espaço da forma automórfica é um espaço vetorial.
  • O produto de duas formas automórficas é uma forma automórfica que corresponde ao produto dos fatores de automorfia correspondentes.

Relação entre fatores de automorfia e outras noções:

  • Sendo \Gamma um reticulado em um grupo de Lie G. Então, um fator de automorfia para \Gamma corresponde ao fibrado de linhas sobre o grupo quociente G/\Gamma. Além disso, as formas automórficas para um dado fator de automorfia correspondem a seções do correspondente feixe de linhas.

O caso específico de \Gamma, um subgrupo de SL(2,R), atuando sobre o meio plano superior, é tratado no artigo sobre fatores automórficos.

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