Fator integrante

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Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.

Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

Considere uma equação diferencial ordinária linear da sequinte forma:

y'+a(x)y = b(x)\,

onde y = y(x) é a incógnita e depende da variável x, e a(x) e b(x) são funções dadas.

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por M(x), obtém-se:

M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x)\,

Supomos que M(x) possa ser escrita na seguinte forma:

(M(x)y)' = M(x)b(x)\,

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

y(x) M(x) = \int  b(x) M(x)\,dx + C\,

onde C é constante. Resolvendo para y(x),, temos:

y(x) = \frac{\int  b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}\,

Para encontrar a função M(x), basta observar que, pela regra do produto:

(M(x)y)' = M'(x)y + M(x)y' = M(x)b(x)\,

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

M'(x) = a(x)M(x) .\quad\quad\quad (4)\,

O que implica:

M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Consire a seguinte equação diferencial:

y'-\frac{2y}{x} = 0.

Multiplicando a equação pelo fator integrante M(x)=x^{-2}\,, temos:

\frac{y'}{x^2}-\frac{2y}{x^3} = 0

ou, reagrupando os termos:

\left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0

o que é equivalente a:

\frac{y}{x^2} = C

ou, resolvendo para y:

y=Cx^2\,

Ver também[editar | editar código-fonte]