Fatoração

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Fatoração (português brasileiro) ou Fatorização (português europeu) (AO 1945: Factorização) é o termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação. Assim como parcela é cada uma das partes que integram uma adição,[1] o fator é como se chama cada elemento que integra o produto.[2] [1] Com a fatoração busca-se a simplificação das fórmulas matemáticas em que ocorre a multiplicação, especialmente das chamadas equações.

Há centenas de aplicações e problemas relacionados, tais quais os de fatoração de números primos e criptografia.

De forma mais genérica, a fatoração é o ato de se representar um elemento de um monoide sobre o qual está definida uma operação multiplicativa como um produto de elementos do grupo. Um caso particular importante é a fatoração de um polinômio, que consiste em transformá-lo em um produto de polinômios de graus menores, ou mais simples, em linguagem não-matemática.[1]

Essa fatoração é indispensável na resolução de equações do segundo grau ou maior.

Principais tipos de fatoração[editar | editar código-fonte]

  • Fator comum em evidência: A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas.[3] ax+bx+cx= x.(a+b+c)
  • Agrupamento:  ax+ay+bx+by = (ax+ay)+(bx+by) = a.(x+y) + b.(x+y) = (a+b).(x+y)
  • Trinômio quadrado perfeito:  a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2
  • Diferença de dois quadrados:  a^2-b^2=(a+b)(a-b)
  • Trinômio do 2º Grau:  x^2+(a+b).x+(a.b) = (x+a).(x+b)
  • Soma de dois quadrados (não é fatorável nos números reais, mas pode ser fatorada nos números complexos):  a^2+b^2=(a+i.b)(a-i.b)
  • Identidade de Sophie-Germain: a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-(2ab)^2=\left(a^2+2b^2\right)^2-(2ab)^2=\left(a^2+2b^2+2ab\right)\cdot\left(a^2+2b^2-2ab\right)
  • Soma de dois cubos: a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - a b + b^2)
  • Diferença de dois cubos: a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + a b + b^2)
  • Diferença de potências:
    a^n - b^n = (a - b) \left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2+\ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}\right)
    a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{(n-1)-k}
  • Soma de potências (n ímpar): a^n + b^n = (a + b) \left(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \ldots - ab^{n-2} + b^{n-1}\right)
  • Diferença entre uma potência de 2 e 1: 2^n - 1 = 2^n-1^n = (2-1)\times\left ( \sum_{k=0}^{n-1} 2^k\times1^{(n-1)-k} \right )=\sum_{k=0}^{n-1} 2^k
  • Diferença entre uma potência de um natural e 1: a^n - 1 = a^n-1^n=(a-1) \sum_{k=0}^{n-1} a^k\times1^{(n-1)-k} = (a-1) \sum_{k=0}^{n-1} a^k

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c Fatoração (em português) VestibulandoWeb. Visitado em 17 de junho de 2013.
  2. Antonio Rodrigues Neto. Transformando os números em multiplicação (em português) UOL - Educação. Visitado em 17 de junho de 2013.
  3. Marcos Noé. Fatoração: Fator Comum em Evidência (em português) R7 Brasil Escola. Visitado em 17 de junho de 2013.
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