Fatorial

Na matemática, o fatorial (AO 1945: factorial) de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.

Definição

A função fatorial é normalmente definida por:

$n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\forall n\in\mathbb{N}$

Por exemplo,

$5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$

Note que esta definição implica em particular que

$0! = 1$

porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor pois este faz com que a função recursiva

$(n + 1)! = n! \times (n + 1)$

funcione para n = 0.

A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama:

$z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt$

A sequência dos fatoriais (sequência A000142 na OEIS) para n = 0, 1, 2,... começa com:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...

Aplicações

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial. Veja também binômio de Newton.

${n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.$

Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xⁿ é n!. Os fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.

Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n (n − 1)!

Como Calcular Fatoriais

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isto que as calculadoras fazem. O maior fatorial, que a maioria das calculadoras suportam é 69!, porque 70! > 10¹⁰⁰.

Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.$

Esta é uma versão simplificada que pode ser provada usando a matemática básica do ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Esta é aqui apresentada na forma de um exercício:

$\left({n \over 3}\right)^n <n! < \left({n \over 2}\right)^n\ \mbox{se}\ n\geq 6.$

Logaritmo de Fatorial

O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. ln(n!) pode ser facilmente calculado da seguinte forma:

$\ln(n!)=\sum_{k=1}^n{\ln(k)}$

Note que esta função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator ${\ln(n!)} \over n$ cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico de seus primeiros 20 mil valores:

$\ln(n!) \approx n\ln(n) - n + \frac {\ln(n)} {2} + \frac {\ln(2 \pi)} {2}.$

Uma boa aproximação para ln(n!) é fazer o logaritmo da fórmula de Stirling.

Generalidades

A função gama similar

Ver artigo principal: Função gama

A função gama Γ(z) é definida para todos os números complexos z exceto os inteiros não positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Relaciona-se aos fatoriais pelo fato de que satisfaz um relacionamento recursivo similar àquele da função fatorial:

$n!=n(n-1)!$

$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$

Junto com a definição Γ(1) = 1 isto gera a equação

$\Gamma(n+1)=n!\qquad\forall n\in\mathbb{N},n\ge1.$

Devido a este relacionamento, a função gama é frequentemente tida como uma generalização da função fatorial para o domínio dos números complexos. Isso é justificado pelas seguintes razões:

• Significado compartilhado — a definição canônica da função factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartilhado por ambos.
• Unicidade — a função gama é a única função que satisfaz o relacionamento recursivo mencionado para o domínio dos números complexos e é holomórfica e cuja restrição ao eixo positivo real é convexa no log. Ou seja, é a única função que poderia ser uma generalização da função fatorial.
• Contexto — a função gama é geralmente usada num contexto similar ao dos factoriais (mas, é claro, onde um domínio mais geral for de interesse).

Multifactoriais

Uma notação relacionada comum é o uso de múltiplos pontos de exclamação para simbolizar um multifactorial, o produto de inteiros em passos de dois (n!!), três (n!!!), ou mais.

n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por

$n!! = \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{se }n=0\mbox{ ou }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{se }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.$

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A sequência de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algumas identidades envolvendo factoriais duplos são:

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^nn!$

$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}$

$\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}$

Deve-se ser cuidadoso para não interpretar n!! como o factorial de n!, que deveria ser escrito (n!)! e é um número muito maior (para n>2).

O factorial duplo é a variante mais comumente usada, mas pode-se definir o factorial triplo do mesmo modo (n!!!) e assim por diante. Em geral, o k-ésimo factorial, notado por n!^(k), é definido recursivamente como

$n!^{(k)} = \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{se }0\le n<k; \\ n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{se }n\ge k.\quad\ \ \, \end{matrix} \right.$

Hiperfactoriais

Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por

$H(n) =\prod_{k=1}^n k^k =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n$

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) são 1, 4, 108, 27648,...

A função hiperfactorial é similar à factorial, mas produz números maiores. A taxa de crescimento desta função, contudo, não é muito maior que um factorial regular.

Superfactoriais

Neil Sloane e Simon Plouffe definiram o superfactorial em 1995 como o produto dos primeiros n fatoriais. Assim, o superfatorial de 4 é

$\mathrm{sf}(4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288$

No geral,

$\mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.$

A sequência de superfatoriais começa (de n=0) como:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (sequência A000178 na OEIS)

Esta idéia pode ser facilmente estendida para superduperfatorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando com n=0), assim

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (sequência A055462 na OEIS)

e aí em diante, recursivamente para todos os fatoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produto dos primeiros n (m-1)-factoriais, i.e.

$\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1) =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}$

onde $\mathrm{mf}(n,0)=n$ para $n>0$ e $\mathrm{mf}(0,m)=1$.

Hiperfatoriais (definição alternativa)

Clifford Pickover, no seu livro Keys to Infinity, de 1995, define o superfactorial de n, escrito comodidade n$ (o $ deveria, na verdade, ser um sinal de fatorial ! com um S sobrepusto) como

$n\$=n^{(4)}n$

onde a notação científica ⁽⁴⁾ denota o operador hyper4, ou usando a notação da seta de Knuth,

$n\$=(n!)\uparrow\uparrow(n!)$

Esta sequência de superfatoriais começa quando se usa:

$1\$=1$

$2\$=2^2=4$

$3\$=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}$

Fatoração prima de fatoriais

A potência de p que ocorre na fatoração prima de n! é

$\sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor$

Esta fórmula permite que fatoriais grandes sejam fatorados eficientemente.

O Teorema de Wilson diz que (p-1)! + 1 é um múltiplo de p se, e somente se, p for um número primo.

Algoritmo

Um exemplo clássico do cálculo de fatorial na linguagem de programação C.

Recursivo

int fatorial (int numero) {
    if (!numero)
        return 1;
    return numero * fatorial (numero - 1);
}

Iterativo

int fatorial (int numero) {
    int resultado = numero;
    if (numero == 0) resultado++;
    while (numero > 1) resultado *= --numero;
    return resultado;
}

Ver também

• Função digama
• Função gama
• Fórmula de Stirling
• Desarranjo
• Número triangular

Ligações externas

• table of 2! - 256! (exata)
• Guia de referencia para o factorial n! (em inglês)
• O dicionário dos números grandes
• Algoritmo factorial - Pascal
• Algoritmos interessantes