Fecho reflexivo

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Em matemática, o fecho reflexivo de uma relação binária R num conjunto A é a menor relação reflexiva em A que contém R.[1]

Ou seja, dada uma relação R em A, o fecho reflexivo obtém-se acrescentando a R o mínimo de elementos necessários para a tornar reflexiva.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

O fecho reflexivo S de uma relação R num conjunto A é dado por:

S = R \cup \left\{ (x, x) : x \in A \right\}

Por outras palavras, o fecho transitivo de R é obtido pela união de R com a relação identidade em A.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Dado o conjunto A = \left\{1,2,3\right\}, seja B a relação definida em A por B = \left\{(1,1),(1,2),(2,3)\right\}.

O fecho reflexivo B_r desta relação é dado por B \cup \left\{(1,1),(2,2),(3,3)\right\}, ou seja, B_r = \left\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\right\}.

  • Seja o conjunto L = \left\{a,b,c\right\} e a relação M em L tal que M = \left\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,c)\right\}.

Como a relação M já é reflexiva, o seu fecho reflexivo M_r coincide com ela própria: M_r = M.

  • Considere-se a relação definida em \mathbb{R} por "x é menor que y". O fecho transitivo desta relação é a relação "x é menor ou igual que y".

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências