Fecho reflexivo

Em matemática, o fecho reflexivo duma relação binária R num conjunto A é a menor relação reflexiva em A que contém R.

Ou seja, dada uma relação R em A, o fecho reflexivo obtém-se acrescentando a R o mínimo de elementos necessários para a tornar reflexiva.

Definição formal

O fecho reflexivo S duma relação R num conjunto A é dado por:

$S = R \cup \left\{ (x, x) : x \in A \right\}$

Por outras palavras, o fecho transitivo de R é obtido pela união de R com a relação identidade em A.

Exemplos

• Dado o conjunto $A = \left\{1,2,3\right\},$ seja B a relação definida em A por $B = \left\{(1,1),(1,2),(2,3)\right\}.$

O fecho reflexivo $B_r$ desta relação é dado por $B \cup \left\{(1,1),(2,2),(3,3)\right\},$ ou seja, $B_r = \left\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\right\}.$

• Seja o conjunto $L = \left\{a,b,c\right\}$ e a relação M em L tal que $M = \left\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,c)\right\}.$

Como a relação M já é reflexiva, o seu fecho reflexivo $M_r$ coincide com ela própria: $M_r = M.$

• Considere-se a relação definida em $\mathbb{R}$ por "x é menor que y". O fecho transitivo desta relação é a relação "x é menor ou igual que y".

Ver também

• Fecho simétrico
• Fecho transitivo