Fibrado vetorial

Em topologia diferencial, um fibrado vetorial é um espaço topológico que é uma associação de um espaço vetorial a cada ponto de outro espaço topológico (mais simples), satisfazendo determinadas propriedades que ligam a estrutura dos espaços topológicos aos espaços vetoriais.

Ao espaço topológico mais simples chama-se base, a cada espaço vectorial uma fibra e à união de todas as fibras o espaço total do fibrado.

Essencialmente, a propriedade para ligar a base às fibras é que, localmente, o fibrado vectorial seja muito parecido com um cilindro, ou seja, para cada ponto x do espaço topológico exista uma vizinhança U de x no espaço topológico tal que U x o espaço vetorial seja homeomorfo a um aberto do fibrado.

Definição

Um fibrado vectorial se caracteriza por:

• Um espaço topológico E (chamado espaço total, por abuso de linguagem, às vezes chamado de o próprio fibrado vetorial)
• Um espaço topológico X (chamado de base)
• Uma projeção contínua $\pi :E\to X\,$
• Para todo $x\in X\,$, uma estrutura de espaço vetorial em $\pi ^{-1}(x)\subseteq E\,$

Satisfazendo o axioma:

• Para todo $x\in X\,$, existe uma vizinhança U de x, um número natural k e um homeomorfismo $\phi :U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)\,$ em que:
  • $\pi (\phi (x,v))=x\,$ para todo vetor v de $\mathbb {R} ^{k}\,$
  • a função $v\to \phi (x,v)\,$ é um isomorfismo entre os espaços vetoriais $\mathbb {R} ^{k}\,$ e $\pi ^{-1}(x)\,$

Exemplos

• Se E é um espaço vetorial e X é um espaço topológico, então o produto E×X é um fibrado vetorial sobre X.
• O fibrado tangente de uma variedade diferenciável é um fibrado vetorial sobre essa variedade.