Fila M/M/1

M/M/1 é um modelo da teoria das filas utilizado para aproximar sistemas simples. Assume capacidade ilimitada, população infinita, como um processo de nascimento e morte, onde:

$L_n = L$, n=0,1,2,...,$\infty$
$M_n = M$, n=0,1,2,...,$\infty$

Teorema da probabilidade de estados

O teorema da probabilidade de estados que nos diz que:

• A probabilidade em regime permanente $P_n$ de um processo de nascimento e morte esteja no estado $n$ é dada pelo teorema:

$P_0 = (L_0 * L_1 * L_2 * ... * L_n-1) * P_0/(M_1 * M_2 * ... * M_n), n = 1,2,...\infty$. 

Onde $P_0$ é a probabilidade de que o sistema se encontre no estado 0(vazio).

Utilizando o teorema descrito acima, obtemos: $P_n = (T)^n * P_0$, onde $T=L/M$ (intensidade de tráfego)

Portanto: $p_n = T^n * p_0$, n=1,2,...,$\infty$

Outras propriedades da fila M/M/1

• Utilização do servidor (probabilidade de ter um ou mais jobs no sistema):

$U = 1 - p_0 = T$

• Número médio de jobs no sistema:

$E[n] = \sum_{n=1}^\infty n * P_n$

• Variância do número de jobs no sistema:

$Var[n] = E[n^2] - E^2[n]$

• Probabilidade de ter n ou mais jobs no sistema:

$P(n > jobs no sistema) = \sum_{j=n}^infty p_j$

• Tempo médio de resposta do sistema:

$E[n] = L * E[r]$

O servidor é dito ocioso quando não houver nenhum job no sistema. Em todos os demais momentos ele é dito ocupado. O intervalo de tempo entre dois intervalos ociosos sucessivos é denominado de "período ocupado".

Ver também

• teoria das filas
• Processos estocásticos
• Simulação