Filosofia da matemática

A Filosofia da Matemática é um ramo da filosofia que tem como propósito responder perguntas do porte de:

• Qual a origem dos objetos matemáticos?
• Qual o relacionamento entre Lógica e Matemática.
• Qual a influência da experiência sobre as abstrações matemáticas?
• Como definir o conceito de beleza e elegância que matemáticos associam às demonstrações?
• Que raciocínios matemáticos podem ser considerados Pensamentos Sintéticos à Priori, no contexto da filosofia kantiana?

As principais escolas, datando do fim do século XIX e início do século XX, são o Realismo Matemático (tendo como subdivisões proeminentes no presente século o Logicismo e o Formalismo) e o Intuicionismo.

História

A origem da matemática está sujeita a discussão. Se o nascimento de matemática foi um acontecimento aleatório ou induzida por necessidade devidamente contingente de outros assuntos, digamos, para a física, ainda é uma questão de debates prolífico. Muitos pensadores contribuíram com suas idéias a respeito da natureza da matemática. Hoje, alguns filósofos da matemática têm por objectivo dar contas desta forma de investigação e seus produtos como estão, enquanto outros enfatizam um papel para si que vai além da simples interpretação de análise crítica. Existem tradições de filosofia matemática, tanto a filosofia ocidental e a filosofia oriental . filosofias ocidentais de matemática ir tão longe para trás como Platão , que estudou o estatuto ontológico dos objetos matemáticos, e Aristóteles , que estudou lógica e questões relacionadas com o infinito (real versus potencial).

Grega filosofia da matemática foi fortemente influenciado pelo seu estudo da geometria . Por exemplo, ao mesmo tempo, os gregos da opinião de que 1 (um) não era um número , mas sim uma unidade de comprimento arbitrário. Um número foi definido como uma multidão. Portanto, 3, por exemplo, representou uma certa multiplicidade de unidades, e foi, portanto, não "verdadeiramente" um número. Em outro ponto, um argumento semelhante foi feita a 2 não foi um número, mas uma noção fundamental de um par. Essas visões vêm do muito geométrica straight-edge-e-bússola ponto de vista dos gregos: assim como as linhas desenhadas em um problema geométrico são medidos em percentagem para a primeira linha traçada de forma arbitrária, assim também são os números em uma linha medido em número proporcional para a arbitrariedade "número" primeiro ou "um".

Estes gregos idéias anteriores de números foram posteriormente erigida pela descoberta da irracionalidade da raiz quadrada de dois. da Hippasus , um discípulo de Pitágoras , mostrou que a diagonal de um quadrado unitário foi incomensurável com a sua unidade de comprimento) de ponta (: em outras palavras que ele provou que não havia número (racional) existentes, que retrata com precisão a proporção da diagonal do quadrado unitário em sua extremidade. Isso causou uma significativa reavaliação da filosofia grega da matemática. Segundo a lenda, pitagóricos colegas estavam tão traumatizados por esta descoberta que eles assassinaram Hippasus para impedi-lo de espalhar sua idéia herética. Simon Stevin foi um dos primeiros na Europa a combater as idéias gregas no século 16. Começando com Leibniz , o foco mudou fortemente a relação entre a matemática ea lógica. Essa perspectiva dominou a filosofia da matemática através do tempo de Frege e Russell , mas foi posta em causa pela evolução do 20 19 e início do século.

Século XX

Um problema recorrente na filosofia da matemática diz respeito à relação entre lógica e matemática em suas bases comuns. Enquanto filósofos do século 20 continuou a fazer as perguntas mencionado no início deste artigo, a filosofia da matemática no século 20 foi caracterizado por um interesse preponderante na lógica formal , teoria dos conjuntos , e as questões fundamentais.

É um enigma profundo, que por um lado, as verdades matemáticas parecem ter uma inevitabilidade convincente, mas por outro lado, a fonte de sua "veracidade" permanece um mistério. Investigações sobre esta questão são conhecidos como os fundamentos da matemática programa. No início do século 20, os filósofos da matemática já estavam começando a se dividir em várias escolas de pensamento sobre todas essas questões, em geral distinguidos por suas fotos de matemática epistemologia e ontologia . Três escolas, formalismo , intuicionismo e logicismo , surgiu neste momento, em parte como resposta à preocupação cada vez mais generalizada de que a matemática tal como se apresentava, e análise , em particular, não viver de acordo com as normas de segurança e rigor que havia sido tomada para concedido. Cada escola trabalhou com os problemas que vieram à tona naquele momento, ou tentar resolvê-los ou alegando que a matemática não tem direito a seu status como o nosso conhecimento mais confiável.

Surpreendente e intuitiva evolução contrária na lógica formal e teoria dos conjuntos no início do século 20 levou a novas questões sobre o que era tradicionalmente chamados fundamentos da matemática. À medida que o século se desenrolava, o foco inicial de interesse expandida para uma exploração aberta dos axiomas fundamentais da matemática, a abordagem axiomática de ter sido dado como certo desde a época de Euclides em torno de 300 aC como base natural para a matemática. Noções de axioma , proposição e prova , bem como a noção de uma proposição ser verdadeira de um objeto matemático (ver Atribuição (lógica matemática) ), foram formalizados, permitindo que eles sejam tratados matematicamente. O Zermelo-Fraenkel axiomas de teoria dos conjuntos foram formuladas, que forneceu um quadro conceptual em que o discurso matemático muito seria interpretado. Em matemática como na física, idéias novas e inesperadas surgiram e mudanças significativas foram chegando. Com numeração de Gödel , as proposições podem ser interpretadas como referindo-se a si próprios ou outras proposições, permitindo investigação sobre a consistência das teorias matemáticas. Esta crítica reflexiva em que a teoria em análise "torna-se objeto de um estudo matemático" levou Hilbert chamar tal estudo metamathematics ou teoria da prova .

No meio do século, uma nova teoria matemática foi criada por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane , conhecido como teoria das categorias , e tornou-se um novo concorrente para a linguagem natural do pensamento matemático (Mac Lane, 1998). a 20 progrediu século, porém, divergiram opiniões filosóficas sobre o quão bem-fundado, foram as perguntas sobre as fundações que foram levantadas na sua abertura. Como Hilary Putnam resume uma visão comum da situação no último terço do século, dizendo:

Quando a filosofia descobre algo errado com a ciência, por vezes, a ciência tem de ser mudado - é o paradoxo de Russell vem à mente, assim como a de Berkeley é o ataque "na real infinitesimal - mas mais frequentemente é a filosofia que tem que ser mudado. Eu não acho que as dificuldades que a filosofia encontra com a matemática clássica hoje em dia são dificuldades reais, e eu acho que as interpretações filosóficas da matemática que estão sendo oferecidos por todos os lados estão errados, e que "a interpretação filosófica" é só o que doesn matemática t necessidade. (Putnam, 169-170).

Filosofia da matemática procede hoje ao longo de várias linhas diferentes de investigação, pelos filósofos da matemática, os lógicos e matemáticos, e há muitas escolas de pensamento sobre o assunto. As escolas são tratadas separadamente na próxima seção, e seus pressupostos explicou.

Outras escolas menores são:

• Construtivismo matemático
• Ficcionalismo
• Quasi-Empirismo

Bibliografia

• Russell, Bertrand. Introdução à Filosofia da Matemática. Londres: Allan and Unwin, 1919.

Ver também

• Principia Mathematica
• Lógica matemática
• Fundamentos da matemática