Folium de Descartes

Folium de Descartes para o parâmetro a=1

Em geometria, o Folium de Descartes é uma curva algébrica definida pela equação

$x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,$.

A curva faz um laço no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota

$x + y + a = 0 \,$.

A curva é simétrica para $y = x$.

Seu nome vem do latim folium que significa "folha".

A curva foi representada, juntamente com um retrato de Descartes, em um selo da Albânia em 1966.

História

O folium foi proposto pela primeira vez por Descartes em 1638. A curva tornou-se famosa através de um incidente ocorrido durante o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Descartes desafiou Fermat a encontrar a reta tangente à referida curva em um ponto arbitrário, uma vez que Fermat acabara de descobrir um método para encontrar retas tangentes. Fermat resolveu o problema facilmente, algo que Descartes foi incapaz de fazer. Desde que o cálculo foi inventado, a inclinação de uma reta tangente pode ser facilmente encontrada através da diferenciação implícita.

Representando a curva graficamente

Uma vez que a equação é de 3º grau tanto em x como em y, e não pode ser fatorada, é difícil resolvê-la para uma das variáveis. No entanto, a equação em coordenadas polares é:

$r = \frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta }.$

que pode ser plotada com facilidade. Outra técnica é escrever y = px e resolver para x e y em termos de p. Este método origina as equações paramétricas

.

Pode-se notar que o parâmetro p está relacionado com o vetor posição da curva da seguinte forma:

• p < -1 corresponde ao "braço" inferior direito.
• -1 < p < 0 corresponde ao "braço" superior esquerdo.
• p > 0 corresponde ao laço da curva.

Relação com a trissectriz de MacLaurin

O folium de Descartes relaciona-se com a trissectriz de Maclaurin por transformações afins. Para vermos isso, comecemos com a equação

$x^3 + y^3 = 3 a x y \,$,

E façamos uma mudança de variáveis para encontrar a equação em um sistema de coordenadas girado de 45 graus.

Isto equivale a definir : . No plano $X,Y$ a equação é

$2X(X^2 + 3Y^2) = 3 \sqrt{2}a(X^2-Y^2)$.

Se multiplicarmos a direção $Y$ por um fator de $\sqrt{3}$, temos

$2X(X^2 + Y^2) = a \sqrt{2}(3X^2-Y^2)$

que é a equação para a trissectriz de Maclaurin.

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em inglês, cujo título é «Folium of Descartes», especificamente desta versão.

• Richard L. Amoroso Fe, Fi, Fo, Folium: A Discourse on Descartes’ Mathematical Curiosity
• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. [S.l.]: Dover Publications, 1972. 106–108 p. ISBN 0-486-60288-5
• Eric W. Weisstein, Folium of Descartes em MathWorld.
• "Folium of Descartes" at MacTutor's Famous Curves Index