Folium de Descartes

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Folium de Descartes para o parâmetro a=1

Em geometria, o Folium de Descartes é uma curva algébrica definida pela equação

x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,.

A curva faz um laço no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota

x + y + a = 0 \,.

A curva é simétrica para y = x.

Seu nome vem do latim folium que significa "folha".

A curva foi representada, juntamente com um retrato de Descartes, em um selo da Albânia em 1966.

História[editar | editar código-fonte]

O folium foi proposto pela primeira vez por Descartes em 1638. A curva tornou-se famosa através de um incidente ocorrido durante o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Descartes desafiou Fermat a encontrar a reta tangente à referida curva em um ponto arbitrário, uma vez que Fermat acabara de descobrir um método para encontrar retas tangentes. Fermat resolveu o problema facilmente, algo que Descartes foi incapaz de fazer.[1] Desde que o cálculo foi inventado, a inclinação de uma reta tangente pode ser facilmente encontrada através da diferenciação implícita.

Representando a curva graficamente[editar | editar código-fonte]

Uma vez que a equação é de 3º grau tanto em x como em y, e não pode ser fatorada, é difícil resolvê-la para uma das variáveis. No entanto, a equação em coordenadas polares é:

r = \frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta }.

que pode ser plotada com facilidade. Outra técnica é escrever y = px e resolver para x e y em termos de p. Este método origina as equações paramétricas

x = {{3ap} \over {1 + p^3}},\, y = {{3ap^2} \over {1 + p^3}}.

Pode-se notar que o parâmetro p está relacionado com o vetor posição da curva da seguinte forma:

  • p < -1 corresponde ao "braço" inferior direito.
  • -1 < p < 0 corresponde ao "braço" superior esquerdo.
  • p > 0 corresponde ao laço da curva.

Relação com a trissectriz de MacLaurin[editar | editar código-fonte]

O folium de Descartes relaciona-se com a trissectriz de Maclaurin por transformações afins. Para vermos isso, comecemos com a equação

x^3 + y^3 = 3 a x y \,,

E façamos uma mudança de variáveis para encontrar a equação em um sistema de coordenadas girado de 45 graus.

Isto equivale a definir: x = {{X+Y} \over {\sqrt{2}}},\, y = {{X-Y} \over {\sqrt{2}}}. No plano X,Y a equação é

2X(X^2 + 3Y^2) = 3 \sqrt{2}a(X^2-Y^2).

Se multiplicarmos a direção Y por um fator de \sqrt{3}, temos

2X(X^2 + Y^2) = a \sqrt{2}(3X^2-Y^2)

que é a equação para a trissectriz de Maclaurin.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. George F. Simmons Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics (2007 MAA) p 101 [1]