Força central

Em mecânica clássica, uma força central é uma força cuja magnitude depende somente da distância r do objeto à origem e é dirigida ao longo da linha que os une:

$\vec{F} = \mathbf{F}(\mathbf{r}) = F( ||\mathbf{r}|| ) \hat{\mathbf{r}}$

onde $\scriptstyle \vec{ \text{ F } }$ é a força, F é o vetor função de força, F é um escalar cujo valor é a função de força, r é o vetor posição, ||r|| é o seu comprimento, e $\scriptstyle \hat{\mathbf{r}}$ = r/||r|| é o vetor unitário correspondente.

Equivalentemente, um campo de força é central se, e somente se, ele possui simetria esférica.

Propriedades

Um campo de forças centrais é um campo conservativo, isto é, pode sempre ser expresso como o negativo do gradiente de um potencial:

$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = - \mathbf{\nabla} V(\mathbf{r})\text{, onde }V(\mathbf{r}) = \int_{|\mathbf{r}|}^{+\infin} F(r)\,\mathrm{d}r$

(O limite superior de integração é arbitrário, pois o potencial é definido a menos de uma constante aditiva).

Em um campo conservativo, a energia mecânica total (cinética e potencial) é conservada:

$E = \frac{1}{2} m |\mathbf{\dot{r}}|^2 + V(\mathbf{r}) = \text{constante}$

(Onde ṙ denota a derivada de r em relação ao tempo, que é a velocidade). Num campo de força central, o momento angular também se conserva:

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{\dot{r}} = \text{constante}$

pois o torque exercido pela força central é nulo. Como conseqüência, o corpo se move no plano perpendicular ao vetor momento angular, contendo a origem, e obedece a segunda lei de Kepler. (Se o momento angular é zero, o corpo se move ao longo da linha que o une à origem).

Uma conseqüência de ser conservativo, um campo de força central é irrotacional, isto é, seu rotacional é zero, exceto na origem:

$\nabla\times\mathbf{F} (\mathbf{r}) = \mathbf{0}\text{.}$

Exemplos

A força gravitacional e a força de Coulomb são dois exemplos familiares onde F(r) é proporcional à 1/r². Um objeto em tal campo de força com F negativo (correspondente a uma força atrativa) obedece às leis de Kepler do movimento planetário.

O campo de força de um oscilador harmônico no espaço é central, com F(r) proporcional a r e negativo.

Pelo teorema de Bertrand, as leis de forças F(r) = −k/r² e F(r) = −kr são os únicos campos centrais possíveis onde as órbitas são estáveis e fechadas.

Ver também

• Problema clássico de forças centrais

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em inglês, cujo título é «Central force», especificamente desta versão.