Forma bilinear

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Em matemática, sobretudo na álgebra linear e na análise funcional, uma forma bilinear definida em um espaço vetorial (sobre um corpo K\,) V\, é uma função B:V\times V\to K\, linear em ambas as variáveis.

\begin{array}{l}
\text{1. }B(u + u',v) = B(u,v) + B(u',v)\text{,} \\[4pt]
\text{2. }B(u,v + v') = B(u,v) + B(u,v')\text{,} \\[4pt]
\text{3. }B(\lambda u,v) = B(u, \lambda v) = \lambda\,B(u,v)\text{.} \\[4pt]
\end{array}

Uma forma bilinear em Fn pode ser escrita como:

B(\textbf{x},\textbf{y}) = \textbf{x}^{\mathrm{T}}A\textbf{y} = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j

onde A é uma matriz de dimensões n x n.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Existem três casos importantes de formas bilineares:

Alternada implica anti-simétrica.

Currying[editar | editar código-fonte]

Usando o que em informática chama-se currying, pode-se interpretar toda função de duas variáveis como uma função de uma variável, cujo resultado é uma função.

Ou seja, uma forma bilinear B pode ser interpretada como B_1 \in L(V, L(V, K))\,, ou seja:

B_1: V \to L(V, K)\, é uma função linear, definida por
(B_1(v))(w) = B(v, w)\,

Em outras palavras, B1 é uma transformação linear de V para o espaço dual V*

Ver também[editar | editar código-fonte]