Forma bilinear

Em matemática, sobretudo na álgebra linear e na análise funcional, uma forma bilinear definida em um espaço vetorial (sobre um corpo $K\,$) $V\,$ é uma função $B:V\times V\to K\,$ linear em ambas as variáveis.

$\begin{array}{l} \text{1. }B(u + u',v) = B(u,v) + B(u',v)\text{,} \\[4pt] \text{2. }B(u,v + v') = B(u,v) + B(u,v')\text{,} \\[4pt] \text{3. }B(\lambda u,v) = B(u, \lambda v) = \lambda\,B(u,v)\text{.} \\[4pt] \end{array}$

Uma forma bilinear em Fⁿ pode ser escrita como:

$B(\textbf{x},\textbf{y}) = \textbf{x}^{\mathrm{T}}A\textbf{y} = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j$

onde A é uma matriz de n dimensões.

Propriedades

Existem dois casos importantes de formas bilineares:

• simétricas: quando B(u, v) = B(v, u) para todo u, v
• alternadas: quando B(v, v) = 0 para todo v.

Alternada implica anti-simétrica.

Currying

Usando o que em informática chama-se currying, pode-se interpretar toda função de duas variáveis como uma função de uma variável, cujo resultado é uma função.

Ou seja, uma forma bilinear B pode ser interpretada como $B_1 \in L(V, L(V, K))\,$, ou seja:

$B_1: V \to L(V, K)\,$ é uma função linear, definida por

$(B_1(v))(w) = B(v, w)\,$

Em outras palavras, B₁ é uma transformação linear de V para o espaço dual V^*

Ver também

• Operador bilinear
• Forma quadrática
• Forma sesquilinear
• Produto interno
• Função n-linear