Forma canônica de Jordan

A forma canônica de Jordan é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.

O nome é uma referência a Camille Jordan.

Definições

Sejam T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, onde K é o corpo $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Caso complexo

Se $K = \mathbb{C}$, escrevamos o polinômio característico de T na forma

$p_T(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_n)^{m_n}$,

com $\lambda_r\neq\lambda_s$ se $r\neq s$.

Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r $J(\lambda;r)$ dada por

$J(\lambda;r)=\begin{bmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&1&\cdots&0\\ 0&0&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\lambda\end{bmatrix}_{r\times r}$,

que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:

$J(\lambda;r)=\lambda\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\end{bmatrix}_{r\times r}+\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ 0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&0\end{bmatrix}_{r\times r}=\lambda I+N,$

onde N é uma matriz nilpotente, pois $N^r=0$.

Se $B_1,\ldots,B_k$ são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se $\operatorname{diag}\ (B_1,\ldots,B_k)$ como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de $B_1,\ldots,B_k$ dada por

$\begin{bmatrix}B_1&0&\cdots&0\\ 0&B_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&B_k\end{bmatrix}$.

Caso real

Se $K = \mathbb{R}$, escrevamos o polinômio característico de T na forma

$p_T(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_n)^{m_n}((x-\alpha_1)^2+\beta_1^2))^{p_1}\cdots((x-\alpha_k)^2+\beta_k^2))^{p_k}$,

onde $\alpha_r+i\beta_r$ é uma raiz complexa de p_T, com $\lambda_r\neq\lambda_s$ e $(\alpha_r,|\beta_r|)\neq(\alpha_s,|\beta_s|)$ se $r\neq s$.

Se $\alpha+i\beta$ é uma raiz complexa de $p_T(\lambda)$, define-se, analogamente à matriz $J(\lambda;r)$,

$R(\alpha,\beta;r)=\begin{bmatrix}A&\bar{1}&0&\cdots&0\\ 0&A&\bar{1}&\cdots&0\\ 0&0&A&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&A\end{bmatrix}_{n\times n}$,

onde

$A=\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ -\beta&\alpha\end{bmatrix}$ e $\bar{1}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}$

Teorema (de Jordan)

Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se $K = \mathbb{C}$ e

$p_T(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_n)^{m_n}$,

com $\lambda_r\neq\lambda_s$ se $r\neq s$, $\lambda_r \in \mathbb{C}$, então existe uma base na qual a matriz de T é da forma

$J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_n)$,

onde $J_1,\ldots,J_p$ são da forma $J(\lambda;r),\,r\in\mathbb{N}$ e $\lambda\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$.

Se $K = \mathbb{R}$ e

$p_T(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_n)^{m_n}((x-\alpha_1)^2+\beta_1^2)^{p_1}\cdots((x-\alpha_k)^2+\beta_k^2)^{p_k}$,

onde $\alpha_r+i\beta_r$ é uma raiz complexa de p_T com $\lambda_r\neq\lambda_s$ e $(\alpha_r,\beta_r)\neq(\alpha_s,\beta_s)$ se $r\neq s$ ($\beta_r>0$), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma

$J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_n,R_1,\ldots,R_k),$

onde $J_1,\ldots,J_p$ são da forma $J(\lambda;r),\,r\in\mathbb{N}$ e $\lambda\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$ e $R_1,\ldots,R_q$ são da forma $R(\alpha,\beta;n),\,n\in\mathbb{N}$ e $(\alpha,\beta)\in\{(\alpha_1,\beta_1),\ldots,(\alpha_k,\beta_k)\}$.

Corolário

A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma $J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_p)$ (caso complexo) ou $J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_p,R_1,\ldots,R_q)$ (caso real).

Observações

Blocos de Jordan com a mesma raiz

O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma:

$\begin{bmatrix} J(\lambda_1; m_1)&0&\cdots&0\\ 0&J(\lambda_2; m_2)&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&J(\lambda_n; m_n)\end{bmatrix}\,$,

mas é possivel que $\lambda_s = \lambda_r\,$ quando $s \ne r\,$

Por exemplo, a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan:

$\begin{bmatrix}42 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 42 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 42 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 42 \end{bmatrix}\,$,

em que $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 42\,$, $m_1 = 2\,$ e $m_2 = m_3 = 1\,$.

Unicidade

A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.