Forma canônica de Jordan

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A forma canônica de Jordan é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.

O nome é uma referência a Camille Jordan.

Definições[editar | editar código-fonte]

Sejam T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, onde K é o corpo \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

Caso Real[editar | editar código-fonte]

Se K = \mathbb{C}, escrevamos o polinômio característico de T na forma

p_T(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_n)^{m_n},

com \lambda_r\neq\lambda_s se r\neq s.

Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r J(\lambda;r) dada por [1]

J(\lambda;r)=\begin{bmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&1&\cdots&0\\ 0&0&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\lambda\end{bmatrix}_{r\times r},

que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:

J(\lambda;r)=\lambda\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\end{bmatrix}_{r\times r}+\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ 0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&0\end{bmatrix}_{r\times r}=\lambda I+N,

onde N é uma matriz nilpotente, pois N^r=0.

Se B_1,\ldots,B_k são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se \operatorname{diag}\ (B_1,\ldots,B_k) como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de B_1,\ldots,B_k dada por

\begin{bmatrix}B_1&0&\cdots&0\\ 0&B_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&B_k\end{bmatrix}.

Caso Complexo[editar | editar código-fonte]

Se K = \mathbb{R}, escrevamos o polinômio característico de T na forma

p_T(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_n)^{m_n}((x-\alpha_1)^2+\beta_1^2))^{p_1}\cdots((x-\alpha_k)^2+\beta_k^2))^{p_k},

onde \alpha_r+i\beta_r é uma raiz complexa de pT, com \lambda_r\neq\lambda_s e (\alpha_r,|\beta_r|)\neq(\alpha_s,|\beta_s|) se r\neq s.

Se \alpha+i\beta é uma raiz complexa de p_T(\lambda), define-se, analogamente à matriz J(\lambda;r),

R(\alpha,\beta;r)=\begin{bmatrix}A&\bar{1}&0&\cdots&0\\ 0&A&\bar{1}&\cdots&0\\ 0&0&A&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&A\end{bmatrix}_{n\times n},

onde

A=\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ -\beta&\alpha\end{bmatrix} e \bar{1}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}

Teorema (de Jordan)[editar | editar código-fonte]

Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se K = \mathbb{C} e

p_T(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_n)^{m_n},

com \lambda_r\neq\lambda_s se r\neq s, \lambda_r \in \mathbb{C}, então existe uma base na qual a matriz de T é da forma

J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_n),

onde J_1,\ldots,J_p são da forma J(\lambda;r),\,r\in\mathbb{N} e \lambda\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}.

Se K = \mathbb{R} e

p_T(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_n)^{m_n}((x-\alpha_1)^2+\beta_1^2)^{p_1}\cdots((x-\alpha_k)^2+\beta_k^2)^{p_k},

onde \alpha_r+i\beta_r é uma raiz complexa de pT com \lambda_r\neq\lambda_s e (\alpha_r,\beta_r)\neq(\alpha_s,\beta_s) se r\neq s (\beta_r>0), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma

J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_n,R_1,\ldots,R_k),

onde J_1,\ldots,J_p são da forma J(\lambda;r),\,r\in\mathbb{N} e \lambda\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\} e R_1,\ldots,R_q são da forma R(\alpha,\beta;n),\,n\in\mathbb{N} e (\alpha,\beta)\in\{(\alpha_1,\beta_1),\ldots,(\alpha_k,\beta_k)\}.

Corolário[editar | editar código-fonte]

A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_p) (caso complexo) ou J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_p,R_1,\ldots,R_q) (caso real).

Observações[editar | editar código-fonte]

Blocos de Jordan com a mesma raiz[editar | editar código-fonte]

O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma:

\begin{bmatrix} J(\lambda_1; m_1)&0&\cdots&0\\ 0&J(\lambda_2; m_2)&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&J(\lambda_n; m_n)\end{bmatrix}\,,

mas é possivel que \lambda_s = \lambda_r\, quando s \ne r\,

Por exemplo, a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan:

\begin{bmatrix}42  & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 42 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 42 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 42 \end{bmatrix}\,,

em que \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 42\,, m_1 = 2\, e m_2 = m_3 = 1\,.

Unicidade[editar | editar código-fonte]

A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]