Forma quadrática

Em matemática, uma forma quadrática é um polinômio homogêneo de grau dois em suas variáveis. Por exemplo,

$4x^{2}+2xy-3y^{2}\,\!$

é uma forma quadrática nas variáveis x e y.

Formas quadráticas ocupam um lugar central em vários ramos da matemática, incluindo teoria dos números, álgebra linear, teoria dos grupos (grupo ortogonal), geometria diferencial, topologia diferencial e teoria de Lie.

Formas quadráticas são polinômios quadráticos homogêneos em n variáveis. No caso de uma, duas e três variáveis são denominadas unária, binária e ternária e apresentam-se nas seguintes formas explícitas:

• unária: $q(x)=ax^{2}\!$
• binária: $q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}\!$
• ternária: $q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz\!$,

nas quais a,…,f são coeficientes. Notar que funções quadráticas, tais como ax²+bx+c no caso de uma única variável, não são formas quadráticas, pois não são homogêneas (a não ser que b e c sejam ambos 0).

Bibliografia

• O'Meara, T. (2000), Introduction to Quadratic Forms, ISBN 978-3-540-66564-9, Berlin, New York: Springer-Verlag 
• Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997), The Sensual (Quadratic) Form, ISBN 978-0-88385-030-5, Carus Mathematical Monographs, The Mathematical Association of America