Forma quadrática

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Em matemática, uma forma quadrática é um polinômio homogêneo de grau dois em suas variáveis. Por exemplo,

4x^2 + 2xy - 3y^2\,\!

é uma forma quadrática nas variáveis x e y.

Formas quadráticas ocupam um lugar central em vários ramos da matemática, incluindo teoria dos números, álgebra linear, teoria dos grupos (grupo ortogonal), geometria diferencial, topologia diferencial e teoria de Lie.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Formas quadráticas são polinômios quadráticos homogêneos em n variáveis. No caso de uma, duas e três variáveis são denominadas unária, binária e ternária e apresentam-se nas seguintes formas explícitas:

  • unária: q(x)     = ax^2\!
  • binária: q(x,y)   = ax^2 + bxy + cy^2\!
  • ternária: q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz\!,

onde a,…,f são coeficientes.[1] Notar que funções quadráticas, tais como ax2+bx+c no caso de uma única variável, não são formas quadráticas, pois não são homogêneas (a não ser que b e c sejam ambos 0).


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História

O estudo de determinadas formas quadráticas , em particular a questão de saber se um determinado número inteiro pode ser o valor de uma forma quadrática sobre os inteiros , remonta muitos séculos. Um desses casos é o teorema de Fermat em somas de dois quadrados , que determina quando um inteiro pode ser expresso na forma x2 + y2 , onde x , y são inteiros . Este problema está relacionado com o problema de encontrar triplos de Pitágoras , que apareceu no segundo milênio antes de Cristo [3]

Em 628, o índio matemático Brahmagupta escreveu Brahmasphutasiddhanta que inclui, entre muitas outras coisas , um estudo de equações da forma x2 - = NY2 c . Em particular, ele considerou o que hoje é chamado de Pell equação x2 - ny2 = 1, e encontrou um método para a sua solução [4] Na Europa, este problema foi estudado por Brouncker , Euler e Lagrange .

Em 1801 Gauss publicou Disquisitiones Arithmeticae , a maior parte dos quais foi dedicada a uma teoria completa de formas quadráticas binárias sobre os inteiros . Desde então, o conceito tem sido generalizada, e as conexões com campos quadrática número, o grupo modular , e outras áreas da matemática foram esclarecidas .

Referências

  1. Uma tradição remontando a Gauss estabelece o uso de coeficientes pares associados a produtos de variáveis distintas, ou seja, 2b ao invés de b em formas binárias, e 2d, 2e e 2f ao invés de d, e e f em formas ternárias. As duas convenções são utilizadas na literastura

Bibliografia[editar | editar código-fonte]