Formulação matemática da mecânica quântica

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As formulações matemáticas da mecânica quântica são os formalismos matemáticos que permitam uma descrição rigorosa da mecânica quântica. Estas, por sua vez, se distinguem do formalismo matemático da mecânica clássica, (antes do início de 1900) pelo uso de estruturas matemáticas abstratas, tais como espaços de Hilbert de dimensão infinita e operadores sobre estes espaços. Muitas destas estruturas são retiradas da análise funcional, uma área de pesquisa dentro matemática que foi influenciada, em parte, pelas necessidades da mecânica quântica. Em resumo, os valores de observáveis ​​físicos, tais como energia e momento já não eram considerados como valores de funções em espaço de fase, mas como autovalores, mais precisamente: como valores espectrais de operadores lineares no espaço de Hilbert.[1]

Estas formulações da mecânica quântica, continuem a ser utilizados hoje. No coração da descrição são as idéias de estado quântico e quantum observáveis que são radicalmente diferentes daqueles usados ​​em anos anteriores modelos da realidade física. Enquanto a matemática permite o cálculo das quantidades de muitos que podem ser medidos experimentalmente, há um limite teórico definido para valores que podem ser medidos em simultâneo. Essa limitação foi elucidada por Heisenberg através de um experimento mental, E é representado matematicamente no formalismo de novo pelo comutatividade não dos observáveis quânticos.

Antes do surgimento da mecânica quântica como unidade teoria, a matemática utilizada na física consistiu principalmente em geometria diferencial e equações diferenciais parciais; teoria das probabilidades foi utilizado em mecânica estatística. intuição geométrica claramente desempenhou um papel importante nos dois primeiros e, consequentemente, teorias da relatividade foram formuladas inteiramente em termos de conceitos geométricos. A fenomenologia da física quântica surgiu aproximadamente entre 1895 e 1915, e de 10 a 15 anos antes do surgimento da teoria quântica (cerca de 1925) os físicos continuam a pensar da teoria quântica dentro dos limites do que é agora chamado física clássicaE, em particular dentro das mesmas estruturas matemáticas. O exemplo mais sofisticado deste é o quantização de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara regra, que foi formulada inteiramente no espaço de fase clássico.

Postulados da mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Na Mecânica Clássica a descrição de um sistema físico é resumida da seguinte forma:

  • O estado físico do sistema em um dado tempo t0 é descrito por especificando-se as N coordenadas generalizadas {q}_i({t}_o) e seus momentos conjugados {p}_i({t}_o)
  • O valor dessas grandezas físicas em um dado tempo é completamente determinado se o estado desse sistema neste tempo é conhecido. Ou seja, se o estado do sistema é conhecido podemos determinar com exatidão o estado posterior do sistema após a medida feita em t_0
  • A evolução no estado do sistema é dado pelas leis de Newton ou por formulações equivalentes (mecânica lagrangiana ou hamiltoniana). O estado do sistema fica completamente determinado se conhecemos suas condições iniciais

A mecânica quântica pode ser formulada a partir de diversos conjuntos de postulados e de diversos formalismos matemáticos. Seguem os postulados que fazem uso da análise funcional e que são adotados por considerável parte de textos básicos de mecânica quântica[2] .

  • Os resultados possíveis em uma medida de um observável correspondem ao espectro do observável correspondente.
  • Seja A um observável físico com espectro discreto \{a_n \mid n\in\mathbb{N}\}. Quando é realizada uma medida em A, a probabilidade P({a}_n) de encontrar o autovalor a_n é dada por
P({a}_n) =\sum_{i=1}^{g_n} |\left \langle u_k^i| \psi \right \rangle |^2,

onde g_n é o grau de degenerescência de a_n e \mid u_k^i\rangle correspondem aos autovetores de A com autovalor a_n.

  • Se em uma medida de uma grandeza física A no estado \left | \psi \right \rangle encontramos um autovalor a_n de A, imediatamente após a medida o estado do sistema será a projeção normalizada de \left | \psi \right \rangle no auto-espaço associado a a_n. Dessa forma, toda medida imediatamente após a primeira medida terá o mesmo resultado.
  • A evolução no tempo \left | \psi(t) \right \rangle do vetor de estado de um sistema físico é governada pela equação de Schrödinger, desde que o sistema físico mantenha coêrencia
H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar \frac{d} {dt} \left| \psi (t) \right\rangle

onde H é o Hamiltoniano do sistema e \hbar é a constante reduzida de Planck.

  • O Postulado da simetrização nos diz que quando um sistema possui várias partículas idênticas somente alguns kets do espaço dos estados podem descrever um sistema físico. Estes kets são, dependendo da natureza das partículas, completamente simétricos ou completamente assimétricos com respeito à permutação das partículas. Particulas que possuem vetores de estado simétricos são chamadas de bósons enquanto que as que possuem vetores de estado assimétrico são chamadas de férmions.

Referências

  1. Frederick W. Byron, Robert W. Fuller; Mathematics of classical and quantum physics; Courier Dover Publications, 1992.
  2. Cohen-Tannoudji, C.; Diu, B.; Laloë, F. Quantum Mechanics. Quantum Mechanics. [S.l.]: Wiley, 1997. vol. 1.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • "Mathematical Formulations of Quantum Mechanics" - www.iue.tuwien.ac.at'
  • T.S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894–1912, Clarendon Press, Oxford and Oxford University Press, New York, 1978.
  • S. Auyang, How is Quantum Field Theory Possible?, Oxford University Press, 1995.
  • D. Edwards, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Synthese, 42 (1979),pp. 1–70.
  • G. Emch, Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, 1972.
  • J.M. Jauch, Foundations of quantum mechanics, Addison-Wesley Publ. Cy., Reading, Mass., 1968.
  • R. Jost, The General Theory of Quantized Fields, American Mathematical Society, 1965.
  • A. Gleason, Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space, Journal of Mathematics and Mechanics, 1957.
  • G. Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin, 1963 (paperback reprint by Dover 2004).
  • J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
  • R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, Spin and Statistics and All That, Benjamin 1964 (Reprinted by Princeton University Press)
  • M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I–IV, Academic Press 1972.
  • G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009. - www.mat.univie.ac.at
  • N. Weaver, "Mathematical Quantization", Chapman & Hall/CRC 2001.
  • H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publications, 1950.