Fronteira (matemática)

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Fronteira, em topologia, é o conceito matemático que generaliza a ideia de uma fronteira geográfica.[carece de fontes?]

Dado um conjunto S de pontos em um espaço topológico V, e um ponto x do espaço topológico, uma das três situações seguintes, e apenas uma delas, pode ocorrer:

  • (1) existe um conjunto aberto A tal que x \in A \subseteq S\,
  • (2) existe um conjunto aberto A tal que x \in A \subseteq V - S\,
  • (3) qualquer que seja o aberto A com x \in A\,, temos que A tem pontos em comum com S e com seu complemento

No caso (1) diz-se que x é um ponto do interior de S, (2) x é um ponto do exterior, e (3) um ponto da fronteira.[1]

Intuitivamente, é como se o espaço topológico fosse sendo observado em x com microscópios cada vez mais poderosos. Se, a partir de algum momento, tudo que se vê em volta de x são pontos de S, então é porque x é um ponto interior. Se, a partir de algum momento, tudo que se vê em volta de x são pontos do complemento de S, então é porque x é um ponto exterior. Caso nenhum destes dois casos ocorra, então x é um ponto da fronteira.[2]

Definição matemática[editar | editar código-fonte]

Dada uma topologia τ em um conjunto V e um conjunto S, S \subseteq V\, um ponto x é um ponto da fronteira de S quando para todo aberto A \in \tau\, com x \in A\, temos que A contém pontos de S e pontos no complemento de S, ou seja, A \cap S \ne \varnothing\, e A - S \ne \varnothing\,

A fronteira de S é o conjunto de todos seus pontos fronteira, ou, na notação matemática:

fr(S) = \{ x \in V \ | \ \forall A \in \tau \ , \ x \in A \implies (A \cap S \ne \varnothing \land A - S \ne \varnothing) \} \,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • A fronteira de S é o que se fica quando se retira do fecho de S o seu interior;
  • A fronteira de um conjunto é um conjunto fechado.

Mais precisamente, dado um conjunto S contido em V, dizemos que x é um ponto de fronteira de S se qualquer bola aberta centrada em x contiver pontos de S e pontos do seu complementar.

  • Uma variedade compacta e sem fronteira é chamada de variedade fechada.
  • Podemos pensar na fronteira como um funtor que associa a cada variedade sua fronteira. Tal operador é objeto de estudo da teoria dos bordismos, que foi fundada por René Thom.
  • Pelo teorema de Stokes, a integral de uma k-forma diferencial sobre uma variedade compacta depende somente dos valores da k-forma na fronteira da variedade.
  • Um subespaço de um espaço topológico que coincide com sua fronteira tem necessariamente interior vazio.

Referências

  1. Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology, Chapter 1: Basic Point-Set Topology, 1. The Concept of Topological Space, Interior, Closure and Boundary, p.5 [em linha]
  2. L. Christine Kinsey, Topology of Surfaces (1993), Chapter 2. Point-set topology, 2.1 Open and closet sets in Rn, p.10 [google books]
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