Função L de Dirichlet

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Em matemática, uma série L de Dirichlet, nomeada em honra de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, é uma função da forma

L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.

Aqui χ é um caráter de Dirichlet e s uma variável complexa com parte real maior que 1. Por extensão analítica, esta função pode ser estendida à função meromorfa sobre a totalidade do plano complexo, e é então chamada uma função L de Dirichlet e também notada L(s,χ). Foi provado por Dirichlet que L(1,χ)≠0 par todos os caráteres de Dirichlet χ, permitindo-lhe estabelecer seu teorema sobre primos em progressões aritméticas. Além disso, se χ é principal, então a função L de Dirichlet correspondente tem um polo simples em s=1.

Zeros das funções L de Dirichlet[editar | editar código-fonte]

Se χ é um caráter primitivo com χ(−1) = 1, então os únicos zeros de L(s,χ) com Re(s) < 0 são os inteiros negativos par. Se χ é um caráter primitivo com χ(−1) = −1, então os únicos zeros de L(s,χ) com Re(s) < 0 são os inteiros negativos ímpar. Até a possível existência de um zero de Siegel, regiões livres de zeros incluindo e além da linha Re(s) = 1 similar àquela da função zeta de Riemann são conhecidas como exsitentes para todas as funções L de Dirichlet. Assim como a função zeta de Riemann é conjecturada obedecendo a hipótese de Riemann, assim como as funções L de Dirichlet são conjecturadas como obedecendo a hipótese generalizada de Riemann.

Equação funcional[editar | editar código-fonte]

Assumamos que χ é um caráter primitivo ao módulo k. Definindo

\Lambda(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2}
\Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),

onde Γ nota a função gama e o símbolo a é dado por

a=\begin{cases}0;&\mbox{if }\chi(-1)=1, \\ 1;&\mbox{if }\chi(-1)=-1,\end{cases}

tem-se a equação funcional

\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi).

Aqui nós escrevemos τ(χ) para a soma de Gauss

\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k).

Note-se que |τ(χ)|=k1/2.

Relação com a função zeta de Hurwitz[editar | editar código-fonte]

As funções L de Dirichlet podem ser escritas como uma combinação linear da função zeta de Hurwitz em valores racionais. Fixando um inteiro k ≥ 1, as funções L de Dirichlet para caráteres de módulo k são combinações lineares, com coeficientes constantes, de ζ(s,q) onde q = m/k e m = 1, 2, ..., k. Isto significa que a função zeta de Hurwitz para q racional tem propriedades analíticas que são intimamente relacionadas às funções L de Dirichlet. Especificamente, fazendo \chi ser um caráter de módulo k. Então podemos escrever sua função L de Dirichlet como

L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s}

= \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \chi(m)\; \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).

Em particular, a função L de Dirichlet do trivial caráter de módulo 1 resulta a função zeta de Riemann:

\zeta(s) = \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).

Referências[editar | editar código-fonte]

  • H. Davenport (2000). Multiplicative Number Theory. Springer. ISBN 0-387-95097-4.
  • Dirichlet, P. G. L. (1837), "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält", Abhand. Ak. Wiss. Berlin 48