Função Schwinger

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Na teoria quântica de campos, as distribuições de Wightman podem ser analiticamente continua a funções analíticas em espaço euclidiano com o domínio restrito ao conjunto ordenado de pontos no espaço euclidiano sem pontos coincidentes. Essas funções são chamadas as funções Schwinger, em homenagem a Julian Schwinger. São funções analíticas, simétricas sob a permutação de argumentos[1] (antisimétrico para campos fermiônicos[2] [3] ) euclidianos covariante e satisfazem uma propriedade conhecida como positividade de reflexão.

Escolha qualquer coordenada arbitrária τ e escolha uma função de teste fN em um conjunto com N pontos como seus argumentos. Suponha que fN tem o seu apoio no subconjunto de tempo-ordenado de N pontos com 0 < τ1 < ... < τN. Selecione uma fN tal que para cada N positivo, com os f sendo zero para todos os N maiores do que algum número inteiro M. Dado um ponto x, seja o ponto refletido acerca do hiperplano τ = 0. Então,

\sum_{m,n}\int d^dx_1 \cdots d^dx_m\, d^dy_1 \cdots d^dy_n S_{m+n}(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)f_m(\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_m)^* f_n(y_1,\dots,y_n)\geq 0

onde * representa a conjugação complexa.[4]

O teorema de Osterwalder-Schrader afirma que as funções Schwinger que satisfazem essas propriedades podem ser analiticamente continuas dentro de uma teoria quântica de campos.[5] A integração de funcionais euclidianas satisfaz formalmente a reflexão de positividade[6] [7] . Escolha qualquer polinômio funcional F do campo φ, que não depende do valor de φ(x) para os pontos x cujas coordenadas τ são não positivas. Então,

\int \mathcal{D}\phi F[\phi(x)]F[\phi(\bar{x})]^* e^{-S[\phi]}=\int \mathcal{D}\phi_0 \int_{\phi_+(\tau=0)=\phi_0} \mathcal{D}\phi_+ F[\phi_+]e^{-S_+[\phi_+]}\int_{\phi_-(\tau=0)=\phi_0} \mathcal{D}\phi_- F[\bar{\phi}_-]^* e^{-S_-[\phi_-]}.

Uma vez que a ação S é real e pode ser dividida em S+, que só depende de φ no semi-espaço positivo[8] e S que só depende de φ no semi-espaço negativo[9] e se S também acontece ser invariante sob a ação combinada de tomada de uma reflexão e conjugando complexo todos os campos; então, a quantidade precedente tem de ser não negativa.[10] .

Referências

  1. Frege's permutation argument. por A. W. Moore e Andrew Rein - Notre Dame J. Formal Logic Volume 28, No. 1 (1987), 51-54. [[1]]
  2. Pions to Quarks: Particle Physics in the 1950s editado por Laurie Mark Brown,Max Dresden,Lillian Hoddeson - [[2]]
  3. Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Supersymmetry Part I: Lattice Field Theories por Edwards, David A. [[3]] - [[4]]
  4. A Quantum Legacy: Seminal Papers of Julian Schwinger por Kimball A. Milton - 2000 [[5]]
  5. Osterwalder-Schrader theorem por Glimm, James; Jaffe, Arthur [[6]]
  6. Reflection Positivity and Conformal Symmetry por Karl-Hermann Neeb e Gestur Olafsson - (10 de Junho 2012) [[7]]
  7. REFLECTION POSITIVITY AND MONOTONICITY por ARTHUR JAFFE e GORDON RITTER (2007 - [[8]]
  8. THE HALF-SPACE PROPERTY AND ENTIRE POSITIVE MINIMAL GRAPHS IN M × R. por HAROLD ROSENBERG, FELIX SCHULZE, e JOEL SPRUCK 2011 - [[9]]
  9. Planes and Half-Spaces por Max Wagner 2004 - [[10]]
  10. Gauge Field Theories Second edition por Stefan Pokorsk 2000 - [[11]]
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