Função W de Lambert

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A função W de Lambert, devida ao matemático suíço Johann Heinrich Lambert, é a função transcendental que resolve a equação em y:

y e^y = x\,

Ou seja, se y = W(x), então y resolve y ey = x.

A função W de Lambert pode ser vista como a função inversa de f(y)=ye^y\,, uma função decrescente para y<-1\, e crescente para y>-1\,. O mínimo global de f é dado por f(-1)=-1/e\,. Por esta razão W\, é uma função multivalorada, mas pode ser definida univocamente como uma função real no intervalo (-1/e,\infty)\,.

História[editar | editar código-fonte]

Lambert primeiro considerou a Equação Transcendental de Lambert in 1758[1] e isto levou a um artigo de Leonhard Euler in 1783[2] que discutia o caso especial wew. A função inversa de wew foi primeiro descrita por Pólya e Szegö em 1925[3] . função Lambert foi "redescoberto" por dez anos em aplicações especializadas, mas sua importância não é muito apreciado até a década de 1990. Quando foi anunciado que o escritório do Lambert deu uma solução exata para os autovalores de energia do sistema quântico correspondente ao modelo descrito pelo operador de Dirac para duplicar e, no caso da igualdade de encargos - um problema de física fundamental - e Corless desenvolvedores de outros sistemas Maple fez uma pesquisa bibliográfica e descobriu que esta função está em toda parte em aplicações práticas[4] .

Diferenciação e integração[editar | editar código-fonte]

Por diferenciação implícita, é que W satisfaz a equação diferencial ordinária.

z(1+W)\frac{dW}{dz}=W\quad\mathrm{para\ }z\neq -1/e \,,

portanto:

\frac{dW}{dz}=\frac{W(z)}{z(1 + W(z))}\quad\mathrm{para\ }z\neq -1/e \,.

A função W (x), e algumas expressões envolvendo W(x) pode ser integrada com a regra de substituição w = W(x), ou seja, x = w ew:

\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C

Série de Taylor[editar | editar código-fonte]

A série de Taylor de W0 em torno de 0 pode ser resolvido pelo teorema de inversão de Lagrange, que é derivada de:


 W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n =
x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots

O raio de convergência é de 1/e, como mostrado pelo critério de d'Alembert. A função definida pela série pode ser estendida a uma função holomorfa definida para todos os números complexos, com um corte de ramo no intervalo (−∞, -1/e]; a função holomorfa definida acima do ramo principal da função W de Lambert.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

O padrão Lambert W funçãoi expressa soluções exatas transcendentais equações algébricas (em x) da forma:

 e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)

onde a0, c e R são constantes reais. A solução é x = r + W( c e^{-c r}/a_o )/c. Generalizações da função W de Lambert[5] [6] [7] incluem:

  • Umas aplicaçãoi para a relatividade geral ea mecânica quântica (gravitação quântica) em dimensões inferiores, na verdade um link anteriormente desconhecido (desconhecido antes do papel 2007 por Farrugia, Mann e Scott[8] ) entre estas duas áreas, onde a mão-direita dos lados de (1) é agora um polinomial quadrática em x:
 e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
e em que r1 e r2 são reais constantes de distintas, as raízes do polinômio quadrático. Aqui, a solução é uma função tem um argumento x único, mas como os termos e ri e ao são parâmetros dessa função. A este respeito, a generalização assemelha a hipergeométrica função ea função Meijer-G mas que pertence a uma classe diferente de funções. Quando r1 = r2 ambos os lados da (2) pode ser tomada e reduzido a (1) e, portanto, reduz-se a solução a que a função de W padrão. Eq. (2) expressa a equação que rege a Dilaton campo, a partir da qual é derivada a métrica do R = T ou linear de dois corpos problema gravidade em 1 +1 dimensões (uma dimensão espacial e uma dimensão temporal) para o caso de desigualdade (resto massas), bem como, os eigenenergies da mecânica quântica dupla bem Dirac modelo função delta de taxas desiguais em uma dimensão.
 e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
onde ri e si são distintos constantes reais e x é uma função da distância e da eigenenergy internuclear R. Eq. (3) com os seus casos especializados expressa em (1) e (2) está relacionado com uma classe grande de equações diferenciais de atraso .

As aplicações função W de Lambert de problemas físicos fundamentais não se esgotam, mesmo para o caso padrão expressa em (1), como visto recentemente na área da física atómica, molecular, e ópticos[10] .

Referências

  1. Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, Band III, 128-168, 1758 (facsimile)
  2. Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29-51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350-369, 1921. (facsimile)
  3. Pólya G und Szegö G, 1925, Aufgaben und Lehrsätze der Analysis (Springer, Berlin)
  4. R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare e D.J. Jeffrey, Lambert's W function in Maple, The Maple Technical Newsletter (MapleTech), 9, pp. 12-22, (1993).
  5. Scott T.C. e Mann R.B., General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (avril 2006), pp.41-47, [1]; artigo Arxiv [2]
  6. T.C. Scott, G. Fee e J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 47, no. 3, (setembro 2013), pp. 75-83
  7. T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst e W.Z. Zhang, "Numerics of the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 48, no. 2, (junho 2014), pp. 42-56
  8. Farrugia P.S, Mann R.B. e Scott T.C., N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; artigo Arxiv [4]
  9. Scott T.C., Aubert-Frécon M. e Grotendorst J., New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]; artigo Arxiv [6]
  10. Scott T.C. , Lüchow A., Bressanini D. e Morgan III J.D., The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]