Função aditiva

 Nota: Para o significado algébrico, veja aplicação aditiva.

Em teoria dos números, uma função aditiva é uma função aritmética f(n) de inteiros positivos n de tal modo que sempre que a e b são coprimos, a imagem de seu produto é a soma de suas imagens:

f(ab) = f(a) + f(b).

Aditividade completa

Uma função aditiva f(n) é dita completamente aditiva se f(ab) = f(a) + f(b) vale para quaisquer inteiros positivos a e b, mesmo quando não são coprimos. Uma função completamente aditiva também é denominada totalmente aditiva, em analogia à funções totalmente multiplicativas. Se f é uma função completamente aditiva, então f(1) = 0.

Toda função completamente aditiva é aditiva, mas não vice-versa.

Exemplos

Exemplo de funções aritméticas completamente aditivas:

• A função logarítmica restrita a $\mathbb {N}$.
• A multiplicidade de um fator primo p em n, é o maior expoente m tal que p^m divide n.
• a₀(n) - a soma dos primos que dividem n contando fatores repetidos, algumas vezes é chamada sopfr(n) (em inglês sum of the prime numbers that divide repeated factors), a potência de n ou o logaritmo inteiro de n (sequência A001414 na OEIS). Por exemplo:

  a₀(4) = 2 + 2 = 4

  a₀(20) = a₀(2² · 5) = 2 + 2+ 5 = 9

  a₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

  a₀(144) = a₀(2⁴ · 3²) = a₀(2⁴) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14

  a₀(2,000) = a₀(2⁴ · 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23

  a₀(2,003) = 2003

  a₀(54,032,858,972,279) = 1240658

  a₀(54,032,858,972,302) = 1780417

  a₀(20,802,650,704,327,415) = 1240681

• A função Ω(n), definida como o número total de todos os fatores primos, mesmo repetidos de n, por vezes chamada de "Função Grande Ômega" (sequência A001222 na OEIS) (não confundir com a Ômega ligada à notação de infinitude Grande-O). Por exemplo:

  Ω(1) = 0, pois 1 não possui fatores primos

  Ω(4) = 2

  Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

  Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

  Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

  Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6

  Ω(2,000) = Ω(2⁴ · 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7

  Ω(2,001) = 3

  Ω(2,002) = 4

  Ω(2,003) = 1

  Ω(54,032,858,972,279) = 3

  Ω(54,032,858,972,302) = 6

  Ω(20,802,650,704,327,415) = 7

Exemplo de funções aritméticas que são aditivas mas que não são completamente aditivas:

• ω(n), definida como o número total de diferentes fatores primos de n (sequência A001221 na OEIS). (não confundir com a Ômega ligada à notação de infinitude Pequeno-O) Por exemplo:

  ω(4) = 1

  ω(16) = ω(2⁴) = 1

  ω(20) = ω(2² · 5) = 2

  ω(27) = ω(3³) = 1

  ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

  ω(2,000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

  ω(2,001) = 3

  ω(2,002) = 4

  ω(2,003) = 1

  ω(54,032,858,972,279) = 3

  ω(54,032,858,972,302) = 5

  ω(20,802,650,704,327,415) = 5

• a₁(n) - soma de fatores primos distintos que dividem n, por vezes chamada de sopf(n) (sequência A008472 na OEIS) (em inglês sum of the distinct primes). Por exemplo:

  a₁(1) = 0

  a₁(4) = 2

  a₁(20) = 2 + 5 = 7

  a₁(27) = 3

  a₁(144) = a₁(2⁴ · 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5

  a₁(2,000) = a₁(2⁴ · 5³) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7

  a₁(2,001) = 55

  a₁(2,002) = 33

  a₁(2,003) = 2003

  a₁(54,032,858,972,279) = 1238665

  a₁(54,032,858,972,302) = 1780410

  a₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677

Funções multiplicativas

Ver artigo principal Função multiplicativa.

A partir de qualquer função aditiva f(n) é fácil criar uma função multiplicativa relacionada g(n) i.e. com a propriedade de que sempre que a e b são co-primos tem-se que:

g(ab) = g(a) × g(b).

Um exemplo é g(n) = 2^f(n).

Ver também

• Aditividade sigma
• Função multiplicativa
• Função aritmética