Função característica (probabilidade)

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Em probabilidade, a função característica de uma variável aleatória X é a função

\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right)

quando esta esperança existe, em que t é o argumento (real ou imaginário) da função característica e i é uma raiz quadrada de menos um.

Toda variável aleatória contínua ou discreta possui função característica, que é calculada, respectivamente, por:

\operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f_X(x)\,dx.
\operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = \sum_x e^{itx} p_X(x).

Através da Fórmula de Euler, podemos escrever:

e^{ix} = \cos\left (x \right) + i\,\operatorname{sen}\left( x \right),

E, assim, o cálculo da esperança, para os casos contínuo e discreto, fica:

\operatorname{E}\left(e^{itX}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} cos{(tx)} f_X (x) dx + i  \int_{-\infty}^{\infty} sen{(tx)}f_X (x)  dx .
\operatorname{E}\left(e^{itX}\right)=\sum_{x} cos{(tx)} p_X (x) dx + i\sum_{x} sen{(tx)}p_X (x)  dx .

A função característica \varphi_X(t) existe para todo  t \in \mathbb{R}.. A função característica \varphi_X(t) é também chamada de Transformada de Fourier de f .

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Se X é uma variável aleatória simples (=ou seja, não é um vetor aleatório?), então [1]

\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right)\, t \in \mathbb{R} arbitrário.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Cada uma das funções x \rightarrow \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) é contínua e limitada[2] .

Exemplos de usos[editar | editar código-fonte]

  • (Teorema da continuidade de Lévy) Sejam X_n<math> e <math>X vetores aleatórios em \mathbb{R}^k. Então

X_n converge em distribuição para X se e somente se \operatorname{E}\left(e^{itX_n}\right) \rightarrow \operatorname{E}\left(e^{itX}\right)\, \forall t \in \mathbb{R}^k</math> é contínua e limitada[3] .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Brummelhuis, Raymond. Mathematical Methods. Lecture notes. Chapter 7- Characteristic functions of random variables. Disponível em: <http://www.ems.bbk.ac.uk/for_students/msc_finEng/math_methods/lecture7.pdf>. Acesso em: 12 de junho de 2011.
  2. VAN DER VAART, A. (1998). Asymptotic statistics. New York: Cambridge University Press. Página 13.
  3. VAN DER VAART, A. (1998). Asymptotic statistics. New York: Cambridge University Press.Página 13.


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