Função de Cobb-Douglas

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A Função de Cobb-Douglas é usada extensamente na economia para representar o relacionamento de uma determinada saída e às diversas entradas (INPUT X OUTPUT). Foi proposto inicialmente por Knut Wicksell, matemático-estatístico inglês e testado ao encontro da evidência estatística de construção naval por Paul Douglas e por Charles Cobb, construtores navais, finalmente em 1928 foi publicado um livro didático sobre o desenvolvimento matemático da produção de forma geral, após a construção em um Pool de estaleiros navais dos navios Titanic e Louziânia, estaleiros esses reunidos na Inglaterra.

Sua fórmula geral é

F \left ( x_1, x_2, x_3, ..., x_n \right )=\prod_{i=1}^{N} x_{i}^{\alpha_i}1 , sendo que na maioria das vezes se assume que \sum_{i=1}^{N} \alpha_i=1

Para a produção, a função é Y = ALαKβ Onde: · Y = saída · L = entrada de trabalho · K = entrada de capital · A, α e β são constantes determinadas pela tecnologia. Se α + β = 1, a função de produção tem retornos constantes à escala (se L e K forem aumentados 20%, Y aumenta 20%). Se α + β é menor que 1, os retornos à escala estão diminuindo, e se forem maiores que 1,os retornos à escala estão aumentando. Considerando a competição perfeita, α e β podem ser mostrados como parte da saída de trabalho ou capital.

Os engenheiros navais Cobb e Douglas foram influenciados pela evidência estatística que pareceu mostrar que o trabalho e as partes do capital da saída total eram constantes com relação ao tempo em organizações ou países desenvolvidos na prática de O&M(Organização e Métodos). Eles explicaram isto pelo ajuste estatístico “least-squares regression” de sua função de produção. Há agora a dúvida de se a constância com relação ao tempo de fato existe, para um "piquete" superior ao definido pela experiência amostral do "Pool em foco", se essa fórmula se aplicaria por exemplo, em uma produção internacional de um ou vários navios que não existisse controles que existiram na experiência amostral.

A função Cobb-Douglas pode assim ser estimada como uma relação linear e vetorial usando a expressâo a seguir, de diversas funções de construção naval, de forma matricial planar:

loge(O) = a0 + ∑ ailoge(Ii) i Onde: · O = Saída · Ii = Entrada · ai = coeficientes modelos O modelo também pode ser escrito assim desta forma:

O=(I1)^a1 * (I2)^a2

Uma função Cobb-Douglas comumente usada em modelagem empresarial ou estatal macroeconômica:

O = KαL1 − α

onde K é o capital e L é trabalho. Quando os coeficientes modelos somam com um, como neste exemplo, a função de produção é homogênea de primeira ordem, que implica que se todas as entradas forem dobradas a saída também dobrará.

Homogeneidade[editar | editar código-fonte]

A função Cobb Douglas F \left ( x_1, x_2, x_3, ..., x_n \right )=\prod_{i=1}^{N} x_{i}^{\alpha_i} é homogênea de grau \sum_{i=1}^{N} \alpha_i2 .


Concavidade[editar | editar código-fonte]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a função de produção Cobb Douglas f \left ( K,L \right ) = A\left ( K^{a} \right )\left ( L^{b} \right ), com K>0, L>0 e A>0 (por hipótese). A matriz hessiana desta função é 4

H \left ( f \right ) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial K^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial K\,\partial L} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial K\,\partial L} & \frac{\partial^2 f}{\partial L^2} \\  
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{Red}a \left ( a-1 \right )A\left ( K^{a-2} \right ) \left ( L^{b} \right )} & &  {\color{Blue}abA\left ( K^{a-1} \right ) \left ( L^{b-1} \right )} \\ {\color{Blue}abA\left ( K^{a-1} \right ) \left ( L^{b-1} \right )} & & {\color{PineGreen}b \left ( b-1 \right )A\left ( K^{a} \right ) \left ( L^{b-2} \right )} \end{bmatrix}

Para que esta matriz seja côncava, é necessário que, para todo K>0 e para todo L>0,

  • {\color{Red}a \left ( a-1 \right )A\left ( K^{a-2} \right ) \left ( L^{b} \right )} \le 0 \rightarrow a \left ( a-1 \right ) \le 0 \rightarrow a^2 \le a \rightarrow 0 \le a \le 1
  • {\color{PineGreen}b \left ( b-1 \right )A\left ( K^{a} \right ) \left ( L^{2b-2} \right )} \left [ 1- \left ( a + b\right ) \right ] \le 0\rightarrow b \left ( b-1 \right ) \le 0 \rightarrow b^2 \le b\rightarrow 0 \le b \le 1
  • ab \left ( A^2 \right ) \left ( K^{2a-2} \right ) \left ( L^{2b-2} \right )\left [ 1- \left ( a+ b \right ) \right ] \ge 0 \rightarrow ab \left [ 1- \left ( a+ b \right ) \right ] \ge 0. como ab é necessariamente não negativo, pelas conclusões acima, então precisamos apenas que \left [ 1- \left ( a+ b \right ) \right ] \ge 0 \rightarrow a+b \le 1

De maneira semelhante, a mesma função f será estritamente côncava se a>0, b>0 e a+b<1.

Referências

  1. BERGSTROM, Ted.Proving that a Cobb-Douglas function is concave if the sum of exponents is no bigger than 1. Disponível em: <http://www.econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/GraduateTheoryUCSB/concavity.pdf>. Acesso em: 10 de abril de 2011.
  2. BERGSTROM, Ted.Proving that a Cobb-Douglas function is concave if the sum of exponents is no bigger than 1. Disponível em: <http://www.econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/GraduateTheoryUCSB/concavity.pdf>. Acesso em: 10 de abril de 2011.
  3. BERGSTROM, Ted.Proving that a Cobb-Douglas function is concave if the sum of exponents is no bigger than 1. Disponível em: <http://www.econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/GraduateTheoryUCSB/concavity.pdf>. Acesso em: 10 de abril de 2011.
  4. Concave and convex functions of many variables. Disponível em: <http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/CVN.HTM#p:CcvConds>. Acesso em 10 de abril de 2011.