Função de Dirichlet

Em matemática, sobretudo na análise real, a função de Dirichlet, em honra a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fornece um exemplo de função que é descontínua em todos os pontos do domínio.

A função de Dirichlet é uma exemplo de função real limitada que não é integrável à Riemann.

Definição

A função de Dirichlet $D(x)\,$ está definida em todos os números reais atribuindo o valor 1 aos pontos racionais e 0 aos pontos irracionais:

$D(x)=\left\{ \begin{array}{lr} 1,&x\in\mathbb{Q}\\ 0,&x\in\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \end{array} \right.$

Também pode ser definida como o limite duplo:

$D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x\,$

Em notação moderna, a função de Dirichlet nada mais é que a função indicadora de $\mathbb{Q}\,$ em $\mathbb{R}$.

Integrabilidade

A função de Dirichlet não é integrável a Riemman em nenhum intervalo do tipo $[a,b]\,~~a<b\,$. Pois seu supremo é 1 e seu ínfimo é 0 em qualquer partição de comprimento positivo.

Não obstante, a função de Dirichlet é quase-sempre nula, ou seja, $D(x)=0\,$ exceto em um conjunto de medida zero. Sendo assim, $D(x)\,$ é uma função mensurável à Lebesgue e sua integral de Lebesgue é nula em qualquer mensurável.

Variantes

Uma variante bem conhecida da função de Dirichlet é a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{se } x = 0 \\ \frac{1}{q}, & \text{se } x = \frac{p}{q}, \operatorname{mdc}(p,q)=1, q > 0 \\[4pt] 0, & \text{se } x\in\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$

Onde $p\,$ e $q\,$ são inteiros e $\operatorname{mdc}(p,q)\,$ é o máximo divisor comum de $p\,$ e $q\,$.

Esta função é contínua em cada irracional e descontínua em cada racional. Observe que os pontos de descontinuidade de uma função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,$ formam um conjunto $\mathfrak{F}_{\sigma}\,$ (veja álgebra de Borel) e, portanto, não há tal função contínua em cada racional e descontínua em cada irracional.