Função de Dirichlet

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Em matemática, sobretudo na análise real, a função de Dirichlet, em honra a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fornece um exemplo de função que é descontínua em todos os pontos do domínio.

A função de Dirichlet é uma exemplo de função real limitada que não é integrável à Riemann.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função de Dirichlet D(x) está definida em todos os números reais atribuindo o valor 1 aos pontos racionais e 0 aos pontos irracionais:

D(x)=\left\{
\begin{array}{lr} 1,&x\in\mathbb{Q}\\
0,&x\in\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}
\end{array}
\right.

Também pode ser definida como o limite duplo:

D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x

Em notação moderna, a função de Dirichlet nada mais é que a função indicadora de \mathbb{Q} em \mathbb{R}.

Integrabilidade[editar | editar código-fonte]

A função de Dirichlet não é integrável a Riemman em nenhum intervalo do tipo [a,b]\,~~a<b. Pois seu supremo é 1 e seu ínfimo é 0 em qualquer partição de comprimento positivo.

Não obstante, a função de Dirichlet é quase-sempre nula, ou seja, D(x)=0 exceto em um conjunto de medida zero. Sendo assim, D(x) é uma função mensurável à Lebesgue e sua integral de Lebesgue é nula em qualquer mensurável.

Variantes[editar | editar código-fonte]

Uma variante bem conhecida da função de Dirichlet é a seguinte função:

f(x) = \begin{cases}
  1,  & \text{se } x = 0 \\
  \frac{1}{q}, & \text{se } x = \frac{p}{q}, \operatorname{mdc}(p,q)=1, q > 0 \\[4pt]
  0,  & \text{se } x\in\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
\end{cases}

Onde p e q são inteiros e \operatorname{mdc}(p,q) é o máximo divisor comum de p e q.

Esta função é contínua em cada irracional e descontínua em cada racional. Observe que os pontos de descontinuidade de uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} formam um conjunto \mathfrak{F}_{\sigma} (veja álgebra de Borel) e, portanto, não há tal função contínua em cada racional e descontínua em cada irracional.