Função de Heaviside

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Gráfico da função de Heaviside

Em matemática e estatística, a função de Heaviside (função degrau) é a função descontínua de valor zero para argumento negativo, e um para argumento positivo. Para argumento nulo sua imagem, situada no intervalo aberto (0;1) não é importante, porque normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se definir:

 H(x) = \frac{1+\sgn(x)}{2} =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases} \;\;\;\;\; (1)

sendo sgn a função sinal.

Aproximações contínuas para a função de Heaviside[editar | editar código-fonte]

A expressão (1) define H(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções contínuas adequadas e definir H(x) como um limite. Por exemplo:

H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{\pi} \; arctan \left( \frac{x}{\epsilon}\right) \right] \;\;\;\;\; (2a)

H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0^{-}} \; \frac{1}{2} \; erfc \left( \frac{x}{\epsilon}\right) \;\;\;\;\; (2b)

H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \frac{1}{2} \;+\; \frac{1}{\pi} \; Si \left( \frac{\pi x}{\epsilon}\right) \right] \;\;\;\;\; (2c)

H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\epsilon} \; rect \left( \frac{u}{\epsilon}\right) du \;\;\;\;\; (2d)

H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\epsilon} \; tri \left( \frac{u}{\epsilon} \;-\; \frac{1}{2} \right) du \;\;\;\;\; (2e)

H(x) \;=\; \lim_{\epsilon \to 0+} \left[ 1 \;-\; e^{- \left( \frac{x}{\epsilon} \right)} \right] \;\;\;\;\; (2f)

onde erfc(x) é a função erro complementar = 1 - erf(x), Si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular[1] .

Relação com outras funções[editar | editar código-fonte]

Função sinal[editar | editar código-fonte]

A expressão (1) deixa clara a relação algébrica entre H(x) e sgn(x). Podemos escrever também:

 sgn(x) \;=\; 2H(x) \;-\; 1 \;\;\;\;\; (3a)

Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

A distribuição (ou função generalizada) Delta de Dirac δ(x) pode ser vista informalmente como a derivada da função de passo de Heaviside:

 H(x) = \int_{-\infty}^{x} \delta(u) \; du \;\;\;\;\; (3b)

 \delta(x) = \frac{d}{dx} \; H(x) \;\;\;\;\; (3c)

Mais formalmente, pode-se escrever (3c) da seguinte maneira:

 \delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \; \frac{d}{dx} \; H(\epsilon,x)

com H(ε,x) dada por alguma das expressões (2a) a (2f), que são diferenciáveis em x = 0[2] .

Função retangular[editar | editar código-fonte]

A função retangular pode ser escrita como:

 rect(x) \;=\; H \left( x \;+\; \frac{1}{2} \right) \;-\; H \left( x \;-\; \frac{1}{2} \right) \;\;\;\;\; (3d)

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Referências

  1. Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 4, pp. 55-73, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1
  2. Bracewell, R. - op. cit., Cap. 5, pp. 74-104