Função de Lagrange

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Na mecânica clássica, a Função de Lagrange \mathcal{L} ou simplesmente lagrangiana L de um sistema é uma função obrigatoriamente expressa em termos das coordenadas generalizadas  q_i , das taxas de variação destas coordenadas (velocidades generalizadas)  \dot q_i e do tempo t, e dada matematicamente pela subtração da energia cinética ( T ) pela energia potencial generalizada ( U ) do sistema a qual atrela-se:

\mathcal{L}_{(q_i, \dot q_i, t)} = T - U [Ref. 1] [Ref. 2] [Ref. 3] .

Por padrão a energia potencial é função apenas das coordenadas generalizadas (sistemas conservativos) e/ou do tempo, contudo, a exemplo do que observa-se para o caso eletromagnético, quando na forma adequada, admite-se o uso de um potencial "generalizado", esse função também das velocidades generalizadas. O potencial eletromagnético generalizado [1] [Ref. 3] permite a descrição de partículas elétricas imersas em campos eletromagnéticos via Mecânica de Lagrange, a exemplo. Forças dissipativas proporcionais às velocidades generalizadas também são admissíveis via potenciais dissipativos, a exemplo o potencial dissipativo de Rayleigh [2] .[3] [Ref. 3] .

A lagrangiana é termo central na integral temporal que define o o que denomina-se em Física por ação. Diferente da Mecânica de Newton, junto com o princípio de Hamilton da ação em extremo, a lagrangiana e a Mecânica de Lagrange definem toda a dinâmica de um sistema sem recorrer a vetores e diagramas vetoriais, fazendo-o de forma a usar essencialmente funções escalares. Nesses termos a lagrangiana porta-se como uma equação fundamental do sistema a qual associa-se, encerrando em si todas as informações acerca do sistema. Pode-se pois, a partir dela e do formalismo atrelado à Mecânica de Lagrange, obter qualquer informação desejada acerca do sistema. A lagrangiana possui dimensões de energia, joules no S.I. .[Ref. 1] [Ref. 2] [Ref. 3]

Associado à lagrangiana de um sistema, via Transformada de Legendre, tem-se o hamiltoniano \mathcal{H} do sistema, esse uma função das coordenadas generalidas  q_i , dos momentos conjugados generalizados  p_i e do tempo t. O Hamiltoniano  H_{(q_i,p_i,t)} , definido por H = T + U, também caracteriza uma equação fundamental, e juntamente com o formalismo da Mecânica de Hamilton, constitui formalismo alternativo plenamente equivalente ao de Lagrange no que tange à descrição da dinâmica do sistema [Ref. 2] . Tais formalismos encontram importante aplicação também dentro da relatividade [Ref. 4] .

Embora amplamente aplicada ao campo da dinâmica de energia e matéria, o cálculo variacional não limita o raciocínio à campos específicos da Física. Diversos problemas nas mais variadas áreas mostram-se suscetíveis ao tratamento similar.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Mecânica[editar | editar código-fonte]

  • Partícula livre

Uma partícula livre move-se em ausência de força resultante, idealmente em ausência de força aplicada. Logo sua lagrangiana define-se apenas por sua energia cinética em caso limite.

 \mathcal L = T - U = T = \frac {1}{2}m [{\dot x}^2+{\dot y}^2+{\dot z}^2]

onde, conforme convenção,  \dot x = \frac {dx}{dt} = v_x e assim por diante.

Para movimento confinado ao plano xy, e em coordenadas polares:

 x = r cos \theta

 y = r sin \theta

de onde, derivando-se:

 \dot x = \dot r cos \theta - r \dot \theta sin \theta

 \dot y = \dot r sin \theta + r \dot \theta cos \theta

Quadrando-se as velocidades generalizadas e com o auxílio de algumas relações trigonométricas tem-se pois que:

 \mathcal L_{(r, \dot r, \theta, \dot \theta, t)} = \frac {1}{2}m [{\dot r}^2+{(r \dot \theta)}^2]

Máquina de Atwood. No texto, x corresponde à distância da massa da esquerda (massa M1) até a linha horizontal que passa pelo centro do disco. A altura da massa M2 é l-x, onde l representa tamanho total de corda em suspensão.

Sendo g a aceleração da gravidade, M1 a massa da esquerda e M2 a massa da direita, a energia potencial do sistema escreve-se:

 U = -M_1gx - M_2gy

uma vez assumido o nível de referência como sendo uma linha horizontal a passar pelo centro do disco. Nessa situação x e y representam os tamanhos em suspensão da corda que sustentam respectivamente as massas M1 e M2.

Há um vínculo entre x e y de tal forma que  x+y = c é uma constante, o tamanho total de corda em suspensão. Nesses termos, basta uma coordenada generalizada para descrever-se o problema, à escolha, x, e reescreve-se a energia potencial gravitacional como:

 U = -M_1gx - M_2g(c-x)

Em uma máquina de Atwood ideal a polia e a corda têm massas desprezíveis se comparadas às massas M1 e M2. Nesse caso a energia cinética total se escreve:

 T = \frac{1}{2} M_1 ({\frac {dx}{dt}})^2 + \frac{1}{2} M_2 (\frac {d(c-x)}{dt})^2 = \frac{1}{2} (M_1+M_2) {\dot x}^2

e a função de Lagrange escreve-se:

 L_{(x, \dot x, t)} = T - U = \frac{1}{2} (M_1+M_2) {\dot x}^2 +M_1gx + M_2g(c-x)

que encerra em si toda informação necessária ao cálculo da dinâmica do sistema.

Seguindo-se com o formalismo de Lagrange, tem-se que a equação de movimento deve satisfazer à equação de Lagrange:

 \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i} \right ) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0

onde há no caso apenas uma coordenada generalizada, qi = x. Determinando-se as derivadas tem-se:

 \frac{\partial L}{\partial x} = (M_1-M_2)g

 \frac{\partial L}{\partial \dot x} = (M_1+M_2) \dot x

 \frac {d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot x}) = (M_1+M_2) \ddot x

Levando os resultados à equação de Lagrange tem-se a equação diferencial para o sistema:

 \ddot x = a = \frac {M_1-M_2}{M_1+M_2} g

onde a é a aceleração das massas. Tal equação é análoga à obtida via aplicações diretas da lei de Newton conforme descrito em artigo específico, conforme esperado.

A equação horária para x obtém-se com facilidade doravante mediante integração, sendo a resposta análoga à de um movimento retilíneo uniformemente variado com aceleração constante  a = \ddot x :

 x_{(t)} = X_0 + V_0t + \frac {1}{2} (\frac {M_1-M_2}{M_1+M_2} g) t^2

com  X_0 e  V_0 correspondendo a constantes, respectivamente o comprimento em suspensão inicial da corda para a massa M1 e a velocidade descendente inicial (no sentido de x crescente) da massa M1, determinados no instante em que zera-se o tempo (t=0s).

Exemplo em microeconomia[editar | editar código-fonte]

A função lagrangiana (ou simplesmente lagrangiano) é uma função utilizada para resolver problemas de otimização com restrição, tanto em mecânica quanto em outras áreas não necessariamente da Física.

Suponha uma economia com apenas dois bens, banana (b) e abacate (a). Pode-se querer maximizar a utilidade, grosso modo a satisfação, do consumidor - no problema representada pela função "u", que é logaritmicamente tanto maior quanto maior for o consumo dos bens banana e abacate - mantida contudo uma restrição orçamentária especificada.

O problema resume-se pois em:

  • \max u \left (q_a,q_b \right )=\max {\underbrace{ \left ( ln(q_a)+ln(q_b)\right) }_{u(q_a,q_b)} }

com q_b,q_a representando a quantidade consumida de banana e de abacate respectivamente, e os ln representam os logaritmos neperianos dessas, isso sob uma restrição orçamentária que traduz-se em linguagem matemática por:

  • p_a \times q_a + p_b \times q_b \le S,

com p_b,p_a correspondendo aos preços de banana e abacate respectivamente e S ao salário do consumidor em questão.

Pela lei de Walras, esta desigualdade vale como igualdade, ou seja, o consumidor gastará todo o seu salário.

O lagrangiano deste problema fica então[4] :

L \left ( x_1, x_2, \mu \right ) \equiv \underbrace{ \left ( ln(q_a)+ln(q_b) \right) }_{u(q_a,q_b)} - \mu \left ( p_a \times q_a + p_b \times q_b - S\right )

A variável \mu que multiplica a restrição é chamada de multiplicador de lagrange[4] .

A quantidade ótima de consumo (q_a^*,q_b^*) que resolve este problema atende à três condições:

\frac{\partial L}{\partial \mu}=0 \rightarrow \left ( p_a \times q_a + p_b \times q_b - S\right )=0
\frac{\partial L}{\partial q_a}=0 \rightarrow \underbrace{\frac{1}{q_a}\times 1}_{\frac{\partial ln(q_a)}{\partial q_a}}+ \left (-\mu p_a \right ) = 0


\frac{\partial L}{\partial q_b}=0 \rightarrow \underbrace{\frac{1}{q_b}\times 1}_{\frac{\partial ln(q_b)}{\partial q_b}}+ \left (-\mu p_b \right ) = 0

Referências

  1. a b Classical Dynamics of Particles and Systems - Thornton, Marion - 4 Edition - Sounders College Publishing - ISBN 0-03-097302-3
  2. a b c Aguiar, Márcio A. M. de - Tópicos em Mecânica Clássica - 11 de novembro de 2010
  3. a b c d Goldstein, Rebert - Classical Mechanics - Second Edition - Addison-Wesley Publishing Company - Columbia University - ISBN 0-201-02918-9
  4. R.P. Feynmann (1948): Review of Modern Physics, 20, p. 367.
  • Outras referências:
  1.  U = -q \phi +\frac {q}{c} \vec A . \vec v em unidades gaussianas.
  2.  \mathcal F = \frac {1}{2} \Sigma (k_x {v_{ix}}^2+k_y{v_{iy}}^2+k_z{v_{iz}}^2) com soma sobre as partículas i do sistema. Segue-se que a força de atrito  f_{a_x} = -k_x v_x = (- \nabla_{v} \mathcal F)_x e assim por diante.
  3. Em casos onde as forças não podem ser expressas via potenciais, essas são explicitamente inseridas durante a solução via termos conhecidos por forças generalizadas  Q_j .
  4. a b SIMON, Carl P., e BLUME,Lawrence. Matemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Página 425 e 426.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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