Função de Legendre

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Em matemática, as funções de Legendre Pλ, Qλ e as funções de Legendre associadas Pμλ, Qμλ são generalizações dos polinômios de Legendre para graus não inteiros.

Gráficos dos polinômios de Legendre associados Pm5(x)

Equação diferencial[editar | editar código-fonte]

As funções de Legendre associadas são soluções da equação de Legendre

(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left[\lambda(\lambda+1) - \frac{\mu^2}{1-x^2}\right]\,y = 0,\,

onde os números complexos λ e μ são denominados, respectivamente, grau e ordem das funções de Legendre associadas. As funções de Legendre são as funções de Legendre associadas de ordem μ=0.

Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com três pontos singulares (em 1, −1 e ∞). Como toda equação deste tipo, ela pode ser convertida em uma equação diferencial hipergeométrica mediante uma mudança de variáveis, e sua solução pode ser expressa usando funções hipergeométricas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Estas funções podem ser definidas para parâmetros e argumentos complexos gerais:

P_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left[\frac{1+z}{1-z}\right]^{\mu/2} \,_2F_1 (-\lambda, \lambda+1; 1-\mu; \frac{1-z}{2}),\qquad \text{para } \  |1-z|<2

onde \Gamma é a função gama e  _2F_1 é a função hipergeométrica.

A equação diferencial de segunda ordem tem uma segunda solução, Q_\lambda^{\mu}(z), definida como:

Q_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{\sqrt{\pi}\ \Gamma(\lambda+\mu+1)}{2^{\lambda+1}\Gamma(\lambda+3/2)}\frac{e^{i\mu\pi}(z^2-1)^{\mu/2}}{z^{\lambda+\mu+1}} \,_2F_1 \left(\frac{\lambda+\mu+1}{2}, \frac{\lambda+\mu+2}{2}; \lambda+\frac{3}{2}; \frac{1}{z^2}\right),\qquad \text{para}\ \ |z|>1.

Representação integral[editar | editar código-fonte]

As funções de Legendre podem ser escritas como integrais de contorno. Por exemplo

P_\lambda(z) =\frac{1}{2\pi i}
 \int_{1,z} \frac{(t^2-1)^\lambda}{2^\lambda(t-z)^{\lambda+1}}dt

onde os contorno circulam em torno dos pontos 1 e z nos sentidos positivos, mas não circulam o ponto −1. Para x real

P_s(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(x+\sqrt{x^2-1}\cos\theta\right)^s d\theta = \frac{1}{\pi}\int_0^1\left(x+\sqrt{x^2-1}(2t-1)\right)^s\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}},\qquad s\in\mathbb{C}


Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]