Função de Möbius

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A clássica função de Möbius μ(n) é uma função multiplicativa na Teoria dos Números e Análise Combinatória. Tem esse nome em homenagem ao matemático alemão August Ferdinand Möbius, que foi o primeiro a defini-la em 1831.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função de Möbius.

Denotada por μ(n), a função de Möbius possui em seu domínio de definição todos os números naturais e sua imagem possui três elementos: -1, 0, e 1. Uma maneira simples de regrar a relação entre os elementos do domínio e da imagem é a seguinte:

  • μ(n) = 0 se n tem como divisor um outro número natural ao quadrado
  • μ(n) = 1 se n não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade par de números primos
  • μ(n) = -1 se n não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade ímpar de números primos

Ainda define-se μ(1) = 1. O valor μ(0) é geralmente deixado indefinido. O software Maple define-o como sendo -1. Assim, pode-se condensar a definição da função por meio do regramento a seguir.

Dado   n = 1   ou   n = \prod_{j=1}^{k} p_j ^{a_j} \in \mathbb{N}   (vide Teorema Fundamental da Álgebra), tem-se   \mu : \mathbb{N} \longrightarrow \{-1, 0, 1 \}   tal que

 \mu(n) = \left \{ \begin{matrix} 1, & \mbox{se } n = 1 \mbox{        }\\ (-1)^k, & \mbox{se } a_j = 1 \mbox{ para todo } j \\ 0, & \mbox{se } a_j > 1 \mbox{ para algum } j \end{matrix} \right.

Conforme a definição dada acima, para estabelecer o valor de μ(n) faz-se necessário conhecer a fatoração de n, o que por vezes dificulta muito o cálculo da função. Contudo há uma forma alternativa de definição de μ(n), pela qual não se precisa conhecer os fatores primos de n, que é estabelecida por meio da expressão dada a seguir[1] :

\mu(n) = \sum_{\stackrel{1\le k \le n }{ (k,\,n)=1}} e^{2\pi i \tfrac{k}{n}}.

em que (k,n) = mdc(k,n), de forma que existem tantos k quanto φ(n), i é a unidade imaginária do corpo dos complexos, a constante e = 2,718281... é o número de Euler e π representa o número irracional 3,141592.... Contudo, a complexidade computacional para esse cálculo (que se fundamenta na determinação de raízes da unidade) resulta em um custo semelhante ao do cálculo do produto de Euler.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Propriedade 1[editar | editar código-fonte]

\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ se } n=1\\
0&\mbox{ se } n>1\end{matrix}\right.

De fato, se n = 1, o resultado é imediato. Para o caso de n > 1, uma vez que μ é multiplicativa, é suficiente tomar n = pk, em que p é um primo qualquer. Como todos os divisores de pk estão no conjunto {1, p, ..., pk}, então

\sum_{i=0}^k \mu (p^i) = 1 - 1 = 0.

Propriedade 2[editar | editar código-fonte]

Se s \in \mathbb{C} com Re(s) > 1 então

\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} \right) \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \right) = 1.

A demonstração de tal igualdade parte da função zeta de riemann, dada por \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \zeta(s).

Propriedade 3[editar | editar código-fonte]

Um enunciado equivalente à hipótese de Riemann (localização dos zeros não triviais da função meromorfa \zeta : \mathbb{C} \setminus \left \{1 \right \} \rightarrow \mathbb{C}) é o seguinte: para cada ε > 0, tem-se

 \lim_{n \in \mathbb{N}} \frac{\sum _{k=1}^{n} \mu(k)}{n^{{\frac{1}{2}} + \epsilon}} = 0

Referências

  1. Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford: Oxford University Press, 1980, 5 ed., ISBN 978-0-19-853171-5

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

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