Função de Weierstrass

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O gráfico da função de Weierstrass é um fractal

Em matemática, a função de Weierstrass é um importante contra-exemplo mostrando a existência de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em nenhum ponto do domínio. Recebe o nome em honra a seu descobridor o matemático Karl Weierstrass. A função de Weierstrass é primeira função publicada a apresentar tal patologia.

Embora seja considerada por muitos como um caso patológico, pode-se afirmar que, em certo sentido, o comportamento da função de Weierstrass é o caso mais comum. Sendo o conjunto das funções diferenciáveis em pelo menos um ponto um conjunto magro dentro do espaço de Banach das funções contínuas com a norma do supremo.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função de Weierstrass é definida pela seguinte série de Fourier:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)

onde a\in(0,1) e b é um inteiro positivo ímpar tal que:

ab>1+\frac{3}{2}\pi

Nova Demonstração do Teorema de Weierstrass[editar | editar código-fonte]

O nosso objetivo aqui é apresentar uma demonstração do teorema de Weierstrass
usando apenas noções relativas às séries de Fourier.

Teorema de Weierstrass[editar | editar código-fonte]

A função dita de Weierstrass definida por :

W(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos(a^n\pi x)

onde b\in(0,1) e a é um inteiro positivo ímpar tal que

ab>1+\frac{3}{2}\pi ,é contínua em R e não diferenciável em qualquer ponto.

Demonstração do Teorema de Weierstrass[editar | editar código-fonte]

Continuidade de W[editar | editar código-fonte]

Observe que :


b\in(0,1)


implica :


\sum_{n=0}^{\infty}b^n=\frac{1}{1-b}<\infty .


Isso junto com


sup_{x\in R} |b^n\cos(a^n\pi x)|\leq b^n


nos permite estabelecer , usando o Weierstrass M-test [3] , que


\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos(a^n\pi x)


converge uniformemente para W(x) em R .


A Continuidade de W vem então da convergência uniforme das séries.
(Definição 2.41 e Teorema 2.59 do livro [4] ).


Não Diferenciabilidade de W (em qualquer ponto)[editar | editar código-fonte]

Aqui, usamos os lemas 3.2 e 3.3 do Capítulo 4 do livro de Shakarchi [5]
Quando:
2N=b^n, então



 \Delta_{2N}(W)-\Delta_{N}(W)=b^n\cos(a^n\pi x);


Supondo que W é diferenciável em x_{0}, obtemos o seguinte resultado :



 \Delta_{2N}(W)'(x_{0})-\Delta_{N}(W)'(x_{0})=(b^n\cos(a^n\pi x))'=O(\log N)
,


ou seja,




|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)

, onde |h|\leq c/N.


Para obter a contradição, precisamos apenas escolher h de modo que:




|sen(a^{n}(x_{0}+h))|=1
 ;


Tomando:
|h|=|\delta|/a^{n},


onde


\delta=\pi(k+1/2)-a^{n}x_{0},


para algum k\in Z, temos:




|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=(ab)^{n}\rightarrow \infty 

quando n\rightarrow \infty ,


pois


ab>1+\frac{3}{2}\pi .


Contradição,
pois :




|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)

.


Portanto, W não é diferenciável em x_{0} .


Como x_{0}\in R é arbitrário,
temos que W não é diferenciável em qualquer ponto.


Conclusão[editar | editar código-fonte]

A função de Weierstrass W é contínua em todos os pontos de
R mas não é diferenciável em qualquer ponto de R.


Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]


Referências[editar | editar código-fonte]

  • Harmonic Analysis:from Fourier to Wavelets / María Cristina Pereyra , Lesley A. Ward/ ISBN 978-0-8218-7566-7
  • Fourier Analysis:An introduction /Shakarchi; pp 116-117
  • [6]
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  1. Harmonic Analysis:from Fourier to Wavelets / María Cristina Pereyra , Lesley A. Ward/ ISBN 978-0-8218-7566-7
  2. Fourier Analysis:An introduction /Shakarchi; pp 116-117
  3. Lesley A.Ward, María Craistina Pereyra. Harmonic Analysis:From Fourier to Wavelets. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence, Rholde Island, 2012. p. "40-46". ISBN 978-0-8218-7566-7
  4. Lesley A.Ward, María Craistina Pereyra. Harmonic Analysis:From Fourier to Wavelets. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence, Rholde Island, 2012. p. "40-46". ISBN 978-0-8218-7566-7
  5. Rami Shakarchi, Elias M. Stein. Fourier Analysis:An introduction. [S.l.]: Princeton University Press, 2003. p. "116-117". ISBN 0-691-11384-X
  6. https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_M%C3%B6bius