Função de Weierstrass

O gráfico da função de Weierstrass é um fractal

Em matemática, a função de Weierstrass é um importante contra-exemplo mostrando a existência de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em nenhum ponto do domínio. Recebe o nome em honra a seu descobridor o matemático Karl Weierstrass. A função de Weierstrass é primeira função publicada a apresentar tal patologia.

Embora seja considerada por muitos como um caso patológico, pode-se afirmar que, em certo sentido, o comportamento da função de Weierstrass é o caso mais comum. Sendo o conjunto das funções diferenciáveis em pelo menos um ponto um conjunto magro dentro do espaço de Banach das funções contínuas com a norma do supremo.

Definição

A função de Weierstrass é definida pela seguinte série de Fourier:

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)\,$

onde $a\in(0,1)\,$ e $b\,$ é um inteiro positivo ímpar tal que:

$ab>1+\frac{3}{2}\pi\,$