Função de base

Em análise de funções e nas suas aplicações, um espaço funcional pode ser visto como um espaço vectorial de dimensão infinita cujos vectores-base são funções e não vectores. Isto significa que cada função no espaço funcional pode ser representada como uma combinação linear das funções de base.

Vamos ilustrar o conceito de base usando um exemplo simples. Podemos criar um vector de duas dimensões qualquer (x,y) pela adição de múltiplos dos vectores (1,0) e (0,1):

$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = x \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.$

Neste exemplo, dizemos que o vector (x,y) é o espaço criado pelos vectores (1,0) e (0,1). A base de vectores mais conveniente é formada por vectores ortonormais (além de ortogonal, todo vetor da base é um vetor unitário). Dois vectores são ortogonais se o seu produto escalar é zero. Seno e Coseno são funções ortogonais porque

$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x)\cos(x)dx=0$.

Uma função f(x) é integrável ao quadrado se e só se

$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2 dx < \infty$.

Qualquer função quadrado-integrável (por exemplo uma gravação musical) pode ser representada pela soma de senos e cosenos de várias amplitudes e frequências. Isto é definido pela transformada contínua de Fourier. Neste exemplo, os senos e cosenos são as funções de base. Notar que enquanto o plano bi-dimensional é estendido por apenas dois vectores base, uma função espaço é estendida por um número infinito de funções base, porque a função espaço tem dimensão infinita.