Função de covariância

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Função de covariância, ou simplesmente covariância, refere-se, no campo da geoestatística a uma medição da continuidade espacial de dado fenómeno à semelhança do seu análogo variograma. Pretende assim estudar a variabilidade de uma variável re-amostrando uma população para conter apenas os pares de pontos que se encontrem a uma dada distância h. É utilizada especialmente em estudos onde se justifique um variograma experimental (método gráfico que considera o valor de variograma ou semi-variograma para várias distâncias) calculando a covariância directamente ou a partir do valor do variograma.


Definição[editar | editar código-fonte]

O estimador de covariância não centrada é dado pela média do produto de amostras que se encontram à distância de h (Soares, 2006)[1] :

  C'(h) = \frac{1}{N(h)} \sum_{ \alpha =1 }^{N(h)}  [Z(x_\alpha)Z(x_\alpha +h)]\quad

Para obter o estimador centrado precisamos subtrair o produto das médias das amostra que se encontrem nos pares distânciados por h:

  C'(h) = \frac{1}{N(h)} \sum_{ \alpha =1 }^{N(h)}  [Z(x_\alpha)Z(x_\alpha +h)-m(x_\alpha)m(x_\alpha +h)]\quad 

Onde:

  m(x_\alpha) = \frac{1}{N(h)} \sum_{ \alpha =1 }^{N(h)}  Z(x_\alpha) \quad

e,

  m(x_\alpha+h) = \frac{1}{N(h)} \sum_{ \alpha =1 }^{N(h)}  Z(x_\alpha+h) \quad


A função covariância está directamente ligada com o variograma no qual sabendo que a covariância centrada é dada por:

 C(h) = E [ Z(x)Z(x+h) ] - E [ Z(x) ] E [ Z(x+h) ] \quad

e que o variograma é dado por:

 \gamma (h) = \frac{1}{2} E [ (Z(x)-Z(x+h))^2 ] \quad

Assumindo que a média é igual para todas as populações  Z(x) e  Z(x) (portanto uma função aleatória estacionária, conceito generalizado da série estacionária):

 C(h) = E [ Z(x)Z(x+h) ] - E [ Z(x) ]^2 \quad

Se desenvolvermos os termos do quadrado do variograma ficamos com:

 \gamma (h) = \frac{1}{2} \{ E [Z(x)]^2 + E [Z(x+h)]^2 - 2E[Z(x)Z(x+h)]  \} \quad

Mais uma vez admitindo a estacionariedade das populações ficamos com:

 \gamma (h) = \frac{1}{2} \{ E [Z(x)]^2 - E[Z(x)Z(x+h)]  \} \quad

Subtraindo  m^2 a cada um dos termos:

 \gamma (h) - m^2 = E [Z(x)]^2 - E[Z(x)Z(x+h)] -m^2 \quad
 \gamma (h) = E [Z(x)]^2 -m^2 - E[Z(x)Z(x+h)] +m^2 \quad
 \gamma (h) = E [Z(x)]^2 -m^2 -( E[Z(x)Z(x+h)] -m^2) \quad

deduz-se que:

 \gamma (h) = -( E[Z(x)Z(x+h)] -m^2) = -C(h) \quad

da qual para evitar ajustes com patamar,  C(0), negativo se utiliza a expressão:

 \gamma (h) = C(0) -C(h) \quad 

Por esse motivo se nota, no formato gráfico, a covariância ser o exacto oposto do variograma:

Variograma e covariancia.png

Discussão[editar | editar código-fonte]

Em geoestatística são usadas habitualmente três funções para estudar a variabilidade espacial da amostragem que são: covariância, correlograma, e semi-variograma (comumente designado variograma). Na hipótese de estacionaridade da variável, as três funções são equivalentes: deduzem-se umas a partir das outras e dão a mesma informação sobre o comportamento espacial da variável. A figura seguinte mostra o variograma experimental, covariância e correlograma para o mesmo conjunto de dados:

Variograma covariancia correlograma temperatura na europa.png


Ver também[editar | editar código-fonte]


Referências

  1. Soares, A. (2006), "Geoestatística para as ciências da Terra e do Ambiente" (2006), Lisboa: Instituto Superior Técnico