Função densidade

Em estatística, a função densidade de probabilidade ou simplesmente função de densidade é uma função não negativa utilizada para representar a distribuição de probabilidade caso a variável aleatória seja contínua. Utiliza-se para esses efeitos a integral.

Se uma variável aleatória tem densidade dada por f(x), então o intervalo infinitesimal [x, x+dx] tem probabilidade f(x) dx. Formalmente, a função densidade de probabilidade (ou fdp), denotada por $F_X(x)$, de uma variável aleatória contínua X é a função que satisfaz

Em linguagem matemática	Em Português
$F_X(x)=P\left [ a \le X \le b \right ] = \int_{a}^b \,f(x)\,dx$	Uma variável aleatória contínua tem densidade f(x) se f é uma função não-negativa integrável à Lebesgue tal que a probabilidade no intervalo [a,b] é dada por $\int_{a}^b \,f(x)\,dx$
$F_X(x)=P\left [X \le x \right ] = {\color{Red}\int_{-\infty}^{x} f(X)\, dX}$	A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a um certo x é dada pela integral ${\color{Red}\int_{-\infty}^{x} f(X)\, dX}$. Equivale, quando à função distribuição acumulada das variáveis aleatórias discretas.

Diferença entre "função de probabilidade" e "função densidade de probabilidade"

O conceito de "função densidade de probabilidade" é muito semelhante ao conceito de "função de probabilidade", que serve para o caso de variáveis aleatórias discretas. No entanto, é preciso entender bem a diferença entre eles.

Uma variável aleatória discreta tem um número definido de possíveis ocorrências. Por exemplo, a variável aleatória "resultado de um dado" tem apenas 6 possíveis ocorrências: 1,2,3,4,5 e 6. Por isso, a função de probabilidade a ela associada também só pode assumir 6 valores (1/6 cada uma, se o dado não for viciado), que necessariamente somarão 1.

Uma variável aleatória contínua, ao contrário, tem um número infinito de ocorrências. Por exemplo, a variável aleatória "idade de cada empregado de uma empresa" pode assumir infinitos valores, por exemplo 18,1 anos, 18,23 anos, 20,341 anos, 30,3167 anos etc. Por isso, se simplesmente tentarmos calcular $P \left ( X=x \right )$ como faz uma função de probabilidade para uma variável aleatória discreta, chegaremos ao seguinte :

$P \left ( X=x \right )\le P \left ( x- \epsilon < X \le x \right ) = {\color{OliveGreen}P \left ( X \le x \right ) - P \left ( X \le x-\epsilon \right )},\forall \epsilon >0$

Portanto,

$0 \le P \left ( X=x \right ) \le$ $\lim_{\epsilon \to 0}\left [{\color{OliveGreen}P \left ( X \le x \right ) - P \left ( X \le x-\epsilon \right )}\right ] =0$

Ou seja, a probabilidade de a variável aleatória contínua X assumir um determinado valor x é zero. Por isso, a "função densidade de probabilidade" não trabalha com valores pontuais, e sim com intervalos infinitesimais - ela informa a probabilidade de a variável X assumir um valor naquele intervalo.

Funções distribuição de probabilidade

Se uma variável aleatória $X: \Omega \to \mathbb{R}$ definida no espaço probabilidade $(\Omega , P)$ é dada, podemos fazer questões como "Qual a probabilidade de que o valor de $X$ é maior do que 2?". Isto é o mesmo que a probabilidade do evento $\{ \omega \in\Omega : X(\omega) > 2 \}$ que normalmente se escreve como $P(X > 2)$ por abreviação.

Registrando todas estas probabilidades de amplitudes totais da variável aleatória real X gera a distribuição de probabilidade de X. A distribuição de probabilidade "esquece" o espaço probabilidade particular usado para definir X e regista apenas as probabilidades de vários valores de X. Tal distribuição de probabilidade pode ser sempre capturada pela sua função distribuição acumulada

$F_X(x) = \operatorname{P}(X \le x)$

e por vezes também usando a função densidade da probabilidade. Em termos da teoria da medida, nós usamos a variável aleatória X para "transpor" a medida P de Ω para uma medida dF em R. O espaço probabilidade subjacente Ω é um instrumento técnico usado para garantir a existência de variáveis aleatórias, e por vezes para as construir. Na prática, usa-se geralmente o espaço Ω e apenas se coloca uma medida em R que consigna a medida 1 para o todo a linha real, i.e. trabalha-se com distribuições de probabilidade em vez de variáveis aleatórias.

Propriedades

quaisquer que sejam a e b, e a probabilidade de todo o espaço amostral é 1:

$\int_{-\infty}^\infty \,f(x)\,dx=1$

Função densidade de probabilidade conjunta

Uma função $f \left ( x,y \right )$ de $\mathbb{R}^r$ em $\mathbb{R}^r$ é uma função densidade de probabilidade conjunta, ou fdp conjunta do vetor aleatório bivariado contínuo (X,Y) se, para cada conjunto $A \sub \mathbb{R}^r$,

$P \left [ \left (X,Y \right ) \in A \right ] = \iint\limits_A f \left ( x,y \right )dxdy$

Uma fdp conjunta é utilizada exatamente como uma univariada, exceto que agora as integrais são duplas nos conjuntos do plano .