Função divisor

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, especialmente na teoria dos números e na teoria analítica dos números, uma função divisor, mais apropriadamente chamada função soma dos divisores, é uma função aritmética que associa a cada número natural n a soma das k-ésimas potências de seus divisores inteiros positivos, onde k é um número complexo (na teoria dos números clássica o expoente é geralmente um número inteiro). Quando o expoente k é nulo, a função retorna a contagem de divisores positivos de n. Denotada pela letra grega \sigma (sigma), ela está presente em várias relações, incluindo a função zeta de Riemann e a série de Eisenstein de uma forma modular. Essas funções foram bastante estudadas por Srinivasa Ramanujan, matemático indiano responsável por um grande número de congruências e identidades a elas referentes.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma função divisor é definida como uma regra que associa a uma variável natural n a soma das k-ésimas potências (complexas) dos divisores d (naturais) de n. Dessa forma, pode-se expressar:

\sigma_{k}(n)=\sum_{d|n} d^k\,\! .

As notações d(n), \nu(n) e \tau(n) também são utilizadas para denotar \sigma_0(n), particularmente denominada de função número-de-divisores[1] [2] (sequência [[OEIS:{{{1}}}|{{{1}}}]] na OEIS), indicando a quantidade de divisores inteiros positivos de n. Dessa maneira, o expoente k dos divisores de n na expressão acima é igual a zero e assim tem-se

\sigma_0(n)=\sum_{d|n} d^0=\sum_{d|n} 1=\tau(n)\ .

Quando o expoente k é igual a 1, a função é chamada função soma-dos-divisores e o índice "1" é geralmente omitido. Como o próprio nome informa, \sigma(n) associa ao inteiro n a soma de seus divisores naturais, de forma que

\sigma_{1}(n)=\sigma(n)=\sum_{d|n} d\ .

Denine-se ainda uma função - denotada por s(n) - que associa ao natural n a soma de seus divisores próprios, o que exclui o próprio n. Subsequentemente pode-se escrever

 s(n) = \sigma(n) - n .

Apesar da maneira aparentemente simples de definir a função, o cálculo do seu valor pode ser uma tarefa muito trabalhosa, conforme seja grande o valor de n (posto que se faz necessário conhecer seus divisores) ou na hipótese de serem usados expoentes complexos.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • \sigma_0(30) fornece o número de divisores inteiros positivos de 30:

\begin{align}
\sigma_{0}(30) & = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 5^0 + 6^0 + 10^0 + 15^0+ 30^0 \\
& = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8
\end{align}
  • \sigma(30) é a soma dos divisores de 30:

\begin{align}
\sigma_{1}(30) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 5^1 + 6^1 + 10^1 + 15^1 + 30^1 \\
& = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 = 72
\end{align}
  • \sigma_{-1}(30) é a soma dos inversos dos divisores de 30:

\begin{align}
\sigma_{-1}(30) & = 1^{-1} + 2^{-1} + 3^{-1} + 5^{-1} + 6^{-1} + 10^{-1} + 15^{-1} + 30^{-1} \\
& = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{12}{5}
\end{align}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Da definição pode-se constatar facilmente que:

 \sigma(n) = 1 \Leftrightarrow n = 1, pois 1 é o único divisor natural de 1, e;
 \sigma(n) \ge 1 + n \Leftrightarrow n \ge 1, pois existem pelo menos dois divisores de n, a saber, 1 e o próprio n.

Além disso, na desigualdade acima verifica-se também facilmente que:

  • se n é um número primo então existem apenas dois divisores inteiros positivos: 1 e n. Portanto
 \sigma(n) = 1 + n para todo n primo;
  • se n é um número composto então existem inteiros a e b, relativamente primos (isto é, mdc(a,b) = 1), tais que n = ab, de forma que pelo menos 1, a, b e a b são divisores positivos de n. Logo
 \sigma(n) > 1 + n para todo n composto.

Para determinar precisamente o valor de \sigma(n) para n composto, faz-se necessário representar n por sua decomposição primária (em fatores primos), o que é visto a partir de agora.

Potências de primos[editar | editar código-fonte]

Suponha que n = pa com p primo e a > 1 expoente natural. Então todos os divisores positivos de n estão evidentemente no conjunto {1, p, ...,pa}, formado por 1 e pelos múltiplos de p com expoentes inteiros menores do que ou igual a a. Dessa maneira, tem-se


\begin{align}
\sigma(p^a) = \sum_{i=0} ^{a} p^{i} = 1 + p + ... + p^a
\ = \frac{p^{a+1} - 1}{p - 1}
\end{align}

Tomando arbitrariamente um índice k não nulo, para o mesmo natural n = pa (p primo e expoente natural a > 1), segue-se o raciocínio anterior. Assim, geralizando o cálculo de \sigma_k(n) com k ≠ 0, tem-se


\begin{align}
\sigma_k(p^a) = \sum_{i=0} ^{a} p^{i k} = 1 + p^k + ... + p^{ak}
\ = \frac{p^{(a+1)k} - 1}{p^k - 1}
\end{align}

Como visto acima, se n = pa então n possui a + 1 divisores positivos distintos (1, p, ..., pa). Este é exatamente o valor obtido ao se fazer k = 0 na função \sigma_k:

 \tau(n) = \sigma_0(p^a) = \sum_{i=0} ^{a} p^{0}  = \sum_{i=0} ^{a} 1 = a + 1

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  •  \sigma(3) = \sigma(3^1) = \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4
  •  \sigma_2(625) = \sigma_2(5^4) =  \frac{5^{10} - 1}{5^2 - 1} = \frac{9765624}{24} = 406901
  •  \sigma_{-1}(1024) = \sigma_{-1}(2^{10}) = \frac{2^{-11} - 1}{2^{-1} - 1} = \frac{2^{11} - 1}{2^{10}} = \frac{2047}{1024}

Funções multiplicativas[editar | editar código-fonte]

A função \sigma_k é uma função multiplicativa, pois se m e n são primos relativos, isto é, se mdc(m,n) = 1, então \sigma_k(mn) = \sigma_k(m) \sigma_k(n). Uma função para a qual este produto vale para quaisquer naturais m e n (não apenas primos relativos) é chamada de completamente multiplicativa, o que não é o caso de \sigma. Para compreender isto, tomem-se por exemplo primos distintos p e q. Logo os divisores do produto p q são: 1, p, q e pq, de forma que

 \sigma(pq) = 1 + p + q + pq = ( 1 + p ) \cdot ( 1 + q ) = \sigma(p) \cdot \sigma(q).

Considere-se agora que q=q1q2 é um número composto relativamente primo com p, com q1 e q2 também primos relativos. Segue daí que

 \sigma(pq) = \sigma(p) \cdot \sigma(q) = \sigma(p) \cdot \sigma(q_1) \cdot \sigma(q_2) .

O raciocínio aqui descrito sustenta fundamenta o teorema de generalização dado a seguir, cuja demonstração pode ser feita por indução matemática (ou indução finita).

Generalização[editar | editar código-fonte]

Sejam os primos p1, p2, ..., pm e os expoentes a1, a2, ...am tais que n = p1a1 p2a2 ... pmam (tal decomposição primária tem existência e unicidade garantidas pelo teorema fundamental da aritmética). Nessas condições, aplicando a cada potência de primo fator de n a expressão anteriormente obtida, e considerando que \sigma é uma função multiplicativa, pode-se escrever


\begin{align}
\sigma_k(n) & = \sigma_k \left( \prod_{j=1} ^{m} p_j ^{a_j} \right)
\ = \prod_{j=1} ^{m} \sigma_k (p_j ^{a_j})
\end{align}
, se k ≠ 0, e

\begin{align}
\sigma_0(n) & = \sigma_0 \left( \prod_{j=1} ^{m} p_j ^{a_j} \right)
\ = \prod_{j=1} ^{m} \sigma_0 (p_j ^{a_j})
\ = \prod_{j=1} ^{m} (1 + a_j)
\end{align}
, se k = 0.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  •  \sigma(6) = \sigma(2) \sigma(3) = \frac{2^2 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = 3 \cdot \frac{8}{2} = 12
  •  \sigma(12) = \sigma(2^2) \sigma(3) = \frac{2^3 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = 7 \cdot \frac{8}{2} = 28
  •  \sigma(28) = \sigma(2^2) \sigma(7) = \frac{2^3 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{7^2 - 1}{7 - 1} = 7 \cdot \frac{48}{6} = 56

Utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente, e tomando-se a função \omega que para cada inteiro n = p1a1 p2a2 ... pmam não nulo associa a quantidade m de fatores primos distintos de n (logo ω(n) = m), obtém-se a seguinte expressão para \sigma_k com k ≠ 0:

 \sigma_k(n) = \prod_{j=1} ^{\omega(n)} \frac{p_j ^{(a_{j}+1)k} - 1}{p_{j}^k - 1} = \prod_{j=1} ^{\omega(n)} p_j ^{a_j k} \left( 1 + \frac{1 - p_j ^{-a_j k}}{p_j ^k - 1} \right)

Números perfeitos[editar | editar código-fonte]

Um conceito pertinente aos números naturais, estudado desde a Grécia Antiga, é o de abundância. O uso da função \sigma permite definir abreviadamente o seu significado, de forma que um natural n é chamado:

  • abundante, se \sigma(n) > 2n
  • perfeito, se \sigma(n) = 2n
  • deficiente, se \sigma(n) < 2n

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • 12 é abundante, pois
 \sigma(12) = \sigma(2^2) \sigma(3) = 7 \cdot 4 = 28.
  • 6 é perfeito, visto que
 \sigma(6) = \sigma(2) \sigma(3) = 3 \cdot 4 = 12.
  • 8 é deficiente, porque
 \sigma(8) = \sigma(2^3) = 15.

Todo número perfeito conhecido é par e possui relação estreita com algum primo de Mersenne. O mais antigo problema em aberto em toda a Matemática, que remonta aos gregos clássicos, consiste em provar a existência ou não de números perfeitos ímpares. Também não se sabe ainda se a quantidade de números perfeitos pares é finita ou não[3] .

Outra forma de verificar a abundância de um número natural é pelo uso de \sigma_{-1}. Afinal, conforme a definição da função divisor com índice -1, para todo natural n tem-se

 \sigma_{-1} (n) = \sum _{d | n} d ^{-1} = \sum _{d | n} \frac{1}{d} = \frac{\sum _{d | n} d}{n} = \frac{\sigma(n)}{n}

Consequentemente, pode-se afirmar que

  • n é abundante se \sigma_{-1}(n) > 2
  • n é perfeito se \sigma_{-1}(n) = 2
  • n é deficiente se \sigma_{-1}(n) < 2

Custo aritmético[editar | editar código-fonte]

Interessa àqueles que de fato aplicam as funções em cálculos estimar o esforço necessário para computar os seus valores, o que é medido pelo número de operações efetuadas. Nesse sentido, da fórmula de \sigma(n) decorre[4] que

 n \prod _{j=1} ^{k} \left( 1 + \frac{1}{p_j} \right) \le \sigma(n) < n \prod _{j=1} ^{k} \frac{p_j}{p_j - 1}

Daí, utilizando a expressão de \varphi (função totiente de Euler), tem-se

 \prod_{j=1}^k \left( 1 - \frac{1}{p_j^2} \right) = \prod_{j=1}^k \left( 1 + \frac{1}{p_j} \right) \left( 1 - \frac{1}{p_j} \right) \le \frac{\varphi(n)\sigma(n)}{n^2} < 1

Além disso, uma vez que

 \prod _{p \, primo} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^2}} = \prod \left( 1 + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^4} + ... \right) = \sum _{k=1} ^{infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi ^2}{6} ,

e também como

0 < {\underline{\lim}}_{n \to \infty} \, \frac{\varphi(n) \, log \, log \, n}{n} < + \infty    (vide função totiente de Euler),

subsequentemente é certo que

 0 < \overline{\lim_{n \to \infty}} \, \frac{\sigma(n)}{n \, log \, log \, n} < + \infty.

Relação com outras funções[editar | editar código-fonte]

Considerando a função \varphi (função totiente de Euler) e a função \zeta (função zeta de Riemann), pode-se provar as relaçoes seguintes, em que constam a função divisor, desde que o complexo s seja tal que |s| > 1:

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a),

em que \sigma(n) é tal que

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_0(n)}{n^s} = \zeta^2(s).
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.
\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n}.

Esta soma aparece também na série de Fourier da série de Eisenstein e como invariantes das funções elípticas de Weierstrass.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


Referências

  1. Long (1972, p. 46)
  2. Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 63)
  3. Santos, José P de O; Coleção Matemática Universitária: Introdução à Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2006
  4. Martinez, Fabio Brochero, et al;Projeto Euclides: Teoria dos Números. Um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Rio de Janeiro: IMPA, 2010
Portal A Wikipédia possui o
Portal da Matemática.