Função divisor

Em matemática, especialmente na teoria dos números e na teoria analítica dos números, uma função divisor, algumas vezes chamada função soma dos divisores, é uma função aritmética que associa a cada número natural n a soma das k-ésimas potências de seus divisores, onde k é um número complexo (na teoria dos números clássica o expoente é geralmente um número inteiro). Quando o expoente k é nulo, a função retorna a contagem de divisores positivos de n. Denotada pela letra grega $\sigma\,\!$(sigma), ela está presente em várias relações, incluindo a função zeta de Riemann e a série de Eisenstein de uma forma modular.

Definição

Uma função divisor é definida como a regra que associa a uma variável n (natural) a soma das k-ésimas potências (complexas) dos divisores d (naturais) de n. Dessa forma, tem-se a expressão:

$\sigma_{k}(n)=\sum_{d|n} d^k\,\! .$

As notações d(n), ν(n) and τ(n) também são utilizadas para denotar σ₀(n), ou a função número-de-divisores (sequência [[OEIS:{{{1}}}|{{{1}}}]] na OEIS). Dessa maneira, se o expoente é igual a zero, então

$\sigma_0(n)=\sum_{d|n} 1=\tau(n)\,\! .$

Quando o expoente k é igual a 1, a função é chamada função sigma ou função soma-dos-divisores, e o índice "1" é geralmente omitido, de forma que

$\sigma_{1}(n)=\sigma(n)=\sum_{d|n} d\,\! .$

A função que associa a um natural n a soma de seus divisores próprios (positivos e menores do que n) é denotada por s(n). Portanto s(n) = σ(n) − n .

Exemplo

Apesar da maneira aparentemente simples de definir a função, o cálculo do seu valor pode ser trabalhoso, conforme seja grande o valor de n (necessário conhecer seus divisores) ou se tome expoentes complexos.

Como exemplo simples, podemos ver que σ₀(30) fornece o número de divisores inteiros positivos de 30:

$\begin{align} \sigma_{0}(30) & = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 5^0 + 6^0 + 10^0 + 15^0+ 30^0 \\ & = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8, \end{align}$

Por outro lado, σ(30) é a soma dos divisores de 30:

$\begin{align} \sigma_{1}(30) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 5^1 + 6^1 + 10^1 + 15^1 + 30^1 \\ & = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 = 72, \end{align}$

Da definição segue claramente que σ(1) = 1. Além disso, se p é um número primo então σ(p) = 1 + p, pois apenas 1 e p são divisores; de outra forma, se um natural n é um número composto, tem-se evidentemente σ(n) > 1 + n, pois existe pelo menos mais um divisor além de 1 e de n.