Função holomorfa

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Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano de número complexo C com valores em C que são diferenciáveis em cada ponto.[1]

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",[1] entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto a" significa não só diferenciável em a, mas diferenciável em algum disco aberto centrado em a, no plano complexo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Se U é um subconjunto aberto de C e f : UC é uma função, dizemos que f é diferenciável complexa ou C-diferenciável no ponto z0 de U se o limite

f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }

existir.[2]

Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de z0, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número f '(z0). Intuitivamente, se f é diferenciável complexa em z0 e nas proximidades ao ponto z0 da direção r, então as imagens se aproximarão ao ponto f(z0) a partir da direção f '(z0) r, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.[2]

Se f é complexa diferenciável em cada ponto z0 em U, dizemos que f é holomorfa em U.[1]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:

  • (f + g)' = f' + g'
  • (fg)' = f' g + f g'

etc. [2]

Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:

  • Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.[1]
  • Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.[2] O argumento, aqui, é o ângulo θ obtido pela transformação z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\,

Pelas propriedades acima, a função f(z) = |z|\, não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto[2] ).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.4 The Cauchy-Riemann equations
  2. a b c d e Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.3 Complex derivatives [em linha]
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