Função indicadora

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A função característica de \R^+.

Na matemática, a função indicadora de um conjunto é a função que indica se o elemento pertence ao conjunto, assumindo neste caso o valor 1, e 0 em caso contrário. Em algumas áreas da matemática, também é chamada de função característica.

Formalização matemática[editar | editar código-fonte]

A função indicadora de um conjunto A é denotada por I_A(x), I\left ( x \in A\right )), A(x) ou \chi_A(x). A letra grega χ é usada por ser a letra inicial da palavra grega que corresponde a característica.

Formalmente, a função indicadora de um conjunto A é a função:

\mathbf{I}_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace

definida por [1]

\mathbf{I}_A(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1 &\mbox{se}\ x \in A, \\
0 &\mbox{se}\ x \notin A. 
\end{matrix}\right. = 
\left\{\begin{matrix} 
1 &\mbox{se}\ x \in A, \\
0 &\mbox{se}\ x \in A^c = X - A. 
\end{matrix}\right.


Os colchetes de Iverson permitem a notação compacta [x \in A].

Propriedades da função indicadora[editar | editar código-fonte]

  1. Se A \sub B, então \mathbf{I}_A \le \mathbf{I}_B
  2. \mathbf{I}_{\Omega} = 1
  3. \mathbf{I}_{A^c} = 1 - \mathbf{I}_A
  4. \mathbf{I}_{A \cap B} = \min(\mathbf{I}_A,\mathbf{I}_B)
  5. \mathbf{I}_{A \cup B} = \max(\mathbf{I}_A,\mathbf{I}_B)

Referências

  1. CASELLA, George e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da 2ª edição norte americana. São Paulo, Centage Learning, 2010. ISBN Original: 10:0-495-3918-5. Página 102.
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