Função inversa

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A função inversa g de uma função real de variável real f obtém-se de f por uma simetria em relação à recta y=x.

Em matemática, a função inversa de uma função f:X\rightarrow Y é, quando existe, a função f^{-1}:Y\rightarrow X tal que f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_Y e f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_X (id=função identidade). Ou seja, o que era domínio na função original (o conjunto X neste caso, ilustrado na figura abaixo) vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original (Y, neste caso - ilustrado na figura abaixo) vira domínio.

Bijection.svg

Uma função que tenha inversa diz-se invertível. Se uma função for invertível, então tem uma única inversa. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja invertível é que seja bijectiva.

Se f for uma função injectiva e sobrejectiva de X em Y ao mesmo tempo, então f é também uma função bijectiva de X em f(X). Consequentemente, tem uma inversa de f(X) em X. Por abuso de linguagem, também se designa esta função por inversa de f, embora o seu domínio não seja, em geral, o conjunto Y.

Somente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do domínio tem um único correspondente no contra-domínio (injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma única vez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contra-domínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f -1(x). Ex:

  1. f(x) = x + 1
  2. y = x + 1
  3. x = y + 1
  4. y = x - 1
  5. Portanto, f^{-1}(x) = x - 1

Inversa à direita ou à esquerda[editar | editar código-fonte]

Dadas as funções f:A→B e g:B→A, diremos que g é uma inversa à esquerda quando a função composta g O f = idA:A→A (id=função identidade), ou seja, quando g(f(x)) =x para todo x pertencente ao conjunto A. Uma função f possui inversa à esquerda se, e somente se, for injectiva.[1] . Por exemplo, a função f: N --> N dada por f(x) = 2x, que é injetiva mas não sobrejetiva, tem como inversa g(x)=x/2, porque a função composta g O f = (2x)/2 = x , que é a função identidade.

Dadas as funções g:B→A e f:A→B e , diremos que g é uma inversa à direita de f quando a função composta f O g = idB:B→B, ou seja, quando g(f(x)) = x para todo y pertencente ao conjunto B. Uma função f possui inversa à direita se, e somente se, for sobrejetiva.[1]

Referências

  1. a b LAGES, Elon Lima. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Páginas 21 e 22.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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