Função inversa

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A função inversa g de uma função real de variável real f obtém-se de f por uma simetria em relação à recta y=x.

Em matemática, a função inversa de uma função f:X\rightarrow Y é, quando existe, a função f^{-1}:Y\rightarrow X tal que f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_Y e f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_X (id=função identidade). Ou seja, o que era domínio na função original (o conjunto X neste caso, ilustrado na figura abaixo) vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original (Y, neste caso - ilustrado na figura abaixo) vira domínio.

Bijection.svg

Uma função que tenha inversa diz-se invertível. Se uma função for invertível, então tem uma única inversa. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja invertível é que seja bijectiva.

Se f:X\to Y for uma função injectiva de X em Y, então f é também uma função bijectiva de X em f(X). Consequentemente, tem uma inversa de f(X) em X. Por abuso de linguagem, também se designa esta função por inversa de f, embora o seu domínio não seja, em geral, o conjunto Y.

A função inversa de uma função real de uma variável real[editar | editar código-fonte]

Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função bijetiva definida por y = f(x). Resolvendo y = f(x) para x em função de y, temos determinado uma função x = g(y). Esta função é a função inversa de f, i.e. g = f^{-1}[1] .

Exemplo:

Para determinarmos a inversa da função f(x) = x+1 podemos proceder da seguinte forma:

  1. f(x) = x + 1
  2. y = x + 1
  3. x = y + 1
  4. y = x - 1
  5. Portanto, f^{-1}(x) = x - 1

Inversa à direita ou à esquerda[editar | editar código-fonte]

Dadas as funções f:A\to B e g:B\to A, diremos que g é função inversa à esquerda de fquando a função composta g\circ f = id_A: A \to A (id=função identidade), ou seja, quando g(f(x)) = x para todo x pertencente ao conjunto A. Uma função f possui inversa à esquerda se, e somente se, for injectiva.[2] . Por exemplo, a função f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} dada por f(x) = 2x, que é injetiva mas não sobrejetiva, tem como inversa g(x) = \frac{x}{2}, porque a função composta (g\circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{2x}{2} = x para todo x\in\mathbb{N}, a qual é a função identidade.

Dadas as funções g:B→A e f:A→B e , diremos que g é uma inversa à direita de f quando a função composta f O g = idB:B→B, ou seja, quando g(f(x)) = x para todo y pertencente ao conjunto B. Uma função f possui inversa à direita se, e somente se, for sobrejetiva.[2]

Referências

  1. Anton, Howard. Cálculo - Um novo horizonte vol. 1. 8. ed. [S.l.]: Bookman, 2007. ISBN 8560031634.
  2. a b LAGES, Elon Lima. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Páginas 21 e 22.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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