Função inversa

A função inversa $g$ de uma função real de variável real $f$ obtém-se de $f$ por uma simetria em relação à recta $y=x$.

Em matemática, a função inversa de uma função $f:X\rightarrow Y$ é, quando existe, a função $f^{-1}:Y\rightarrow X$ tal que $f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_Y$ e $f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_X$ (id=função identidade). Ou seja, o que era domínio na função original (o conjunto X neste caso, ilustrado na figura abaixo) vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original (Y, neste caso - ilustrado na figura abaixo) vira domínio.

Uma função que tenha inversa diz-se invertível. Se uma função for invertível, então tem uma única inversa. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja invertível é que seja bijectiva.

Se $f$ for uma função injectiva e sobrejectiva de $X$ em $Y$ ao mesmo tempo, então $f$ é também uma função bijectiva de $X$ em $f(X)$. Consequentemente, tem uma inversa de $f(X)$ em $X$. Por abuso de linguagem, também se designa esta função por inversa de $f$, embora o seu domínio não seja, em geral, o conjunto $Y$.

Somente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do domínio tem um único correspondente no contra-domínio (injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma única vez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contra-domínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f ^-1(x). Ex:

1. $f(x) = x + 1 \,\!$
2. $y = x + 1 \,\!$
3. $x = y + 1 \,\!$
4. $y = x - 1 \,\!$
5. Portanto, $f^{-1}(x) = x - 1 \,\!$

Inversa à direita ou à esquerda

Dadas as funções f:A→B e g:B→A, diremos que g é uma inversa à esquerda quando a função composta g O f = idA:A→A (id=função identidade), ou seja, quando f(g(y)) = y para todo x pertencente ao conjunto A. Uma função f possui inversa à esquerda se, e somente se, for injectiva. . Por exemplo, a função f: N --> N dada por f(x) = 2x, que é injetiva mas não sobrejetiva, tem como inversa g(x)=x/2, porque a função composta g O f = (2x)/2 = x , que é a função identidade.

Dadas as funções g:B→A e f:A→B e , diremos que g é uma inversa à direita de f quando a função composta f O g = idB:B→B, ou seja, quando g(f(x)) = x para todo y pertencente ao conjunto B. Uma função f possui inversa à direita se, e somente se, for sobrejetiva.

Ver também

• Wikilivros