Função limitada

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Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado.

Função real limitada[editar | editar código-fonte]

Uma função real f:D\to\mathbb{R} é limitada se existe uma constante M\geq 0 tal que:

|f(x)|\leq M,~~\forall x\in D

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam duas funções f e g de contra-domínio real. Se f é limitada, e se \lim_{x \rightarrow a} g(x)=0, então \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x)=0.

Demonstração

Se f é limitada, então existe M \in \mathbb{R}, M \geq 0 tal que |f(x)|\leq M.

Então,

-M \leq f(x) \leq M e assim -Mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x).

Logo,

\lim_{x \rightarrow a}-Mg(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} Mg(x)

-M\lim_{x \rightarrow a}g(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq M \lim_{x \rightarrow a} g(x)
0 \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq 0
Assim, pelo teorema do confronto, \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) = 0.

Observação[editar | editar código-fonte]

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