Função limitada

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Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.

Função real limitada[editar | editar código-fonte]

Uma função real f:D\to\mathbb{R} é limitada se existe uma constante M\geq 0 tal que:[1] [2]

|f(x)|\leq M,~~\forall x\in D

Além disso, dizemos que f é uma função limitada superiormente quando existe M \in\mathbb{R} tal que:[1] [2]

f(x) \leq M,\quad \forall x\in D.

Analogamente, dizemos que f é limitada inferiormente quando existe m\in\mathbb{R} tal que:[1] [2]

m \leq f(x),\quad \forall x\in D .

Desta forma, podemos observar que uma função real é limitada quando for simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Analogamente, uma função real é ilimitada quando for ilimitada superiormente ou inferiormente.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam duas funções f e g de contra-domínio real. Se f é limitada, e se \lim_{x \rightarrow a} g(x)=0, então \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x)=0.[1]

Demonstração

Suponhamos que g é uma função não-negativa. Se g \equiv 0 não há nada mais a fazer. Se g é positiva, temos que como f é limitada, então existe M \in \mathbb{R}, M \geq 0 tal que |f(x)|\leq M. Segue que:

-M \leq f(x) \leq M e assim -Mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x).

Logo:

\lim_{x \rightarrow a}-Mg(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} Mg(x)
-M\lim_{x \rightarrow a}g(x) \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq M \lim_{x \rightarrow a} g(x)
0 \leq \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) \leq 0

Assim, pelo teorema do confronto, \lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x) = 0. O caso de g negativa segue raciocínio análogo.

Observação[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Lima, Elon Lages. Análise Real - vol. 1. 11. ed. [S.l.]: IMPA, 2012. ISBN 978-85-244-0048-3.
  2. a b c Ávila, Geraldo. Introdução à análise matemática. 2. ed. [S.l.]: Edgard Blücher, 2000.
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