Função localmente integrável

Em matemática, uma função é dita localmente integrável em um subconjunto $E\,$ de seu domínio se for integrável em cada subconjunto pré-compacto de $E\,$. O espaço das funções localmente integráveis em $E\,$ é denotado por $L^1_{loc}(E)\,$

Definição

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ uma função mensurável. Dizemos que $f\in L^1_{loc}(E)\,$ se $E\,$ é um subconjunto mensurável de $E\,$ e vale que:

• $\forall V\subseteq \overline{V}\subseteq E\,$ com $\overline{V}\,$ compacto então $f\in L^1(V)\,$

Esta definição pode ser generalizada para os espaços $L^p_{loc}(V)\,$.

Propriedades

• Se $1\leq p<q\leq \infty\,$ então $L^q_{loc}(E)\subseteq L^p_{loc}(E)\subseteq L^p(E)\,$