Função (matemática)

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Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x). Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas.[1] [2] .

Função f(x)=x^2

Conceito[editar | editar código-fonte]

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x (às vezes denominado variável independente) um único valor da função f(x) (também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.[3] [4] .

Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é o conjunto imagem ou chamado simplesmente imagem.[4]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

f:X\rightarrow Y

diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y.[3]

Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que:

  1. f é unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então y = z;
  2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f (x).

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.

Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.

Considere as três funções seguintes:

Naofuncao1.png Esta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada.
Naofuncao2.png Esta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.
Funcao venn.svg Esta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão:
f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Para modelar o crescimento de uma população de bactérias de acordo com o tempo, da seguinte forma:

  • Considera-se o tempo como variável independente, podendo-se denotá-lo por x.
  • Como o tamanho da população de bactérias varia como o tempo, ele pode ser considerado como uma variável dependente, e denominado por ƒ(x).

Dizemos então que, o crescimento desta população de bactérias está em função do tempo.

Elementos da função[editar | editar código-fonte]

Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

Seja f: D \rightarrow CD uma função. Toda função consta de três partes:

  • A primeira é o conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto onde a função é definida [5] , ou seja, ele contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida.
  • Outra parte integrante da função é o contradomínio (representado na figura por CD), que é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Em outras palavras, é o conjunto onde a função toma valores.[5] Dentro do contradomínio, define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
  • A terceira parte de uma função é a regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento x \in D, um único elemento f(x) \in CD, chamado o valor que a função assume em x (ou no ponto x).[5]

A função, portanto, se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e pela lei de associação (regra). A função f: \R \to \R, \ f(x) = x^2 é diferente da função g: \R \to \R^{+}, \ g(x) = x^2, pois o contradomínio é diferente.

Gráficos de função[editar | editar código-fonte]

As funções são comumente representadas em gráficos. O gráfico de uma função f : D → I é o conjunto dos pares ordenados em D x I da forma ( x , f (x) ), ou seja:

\left\{\left(x,f(x)\right) : x \in D \right\}

ou equivalentemente:

\left\{\left(x,y\right)\in D\times I : x \in D \mbox{ e } y=f(x) \right\}

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada, respectivamente.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

Tipos de funções[editar | editar código-fonte]

Dependendo do tipo de regra que associa os elementos do domínio aos elementos do contradomínio de uma função, ela pode receber nomes específicos. Por exemplo,

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regra uma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos de classes de funções, e classe é empregado aqui como classificação mesmo e não como classe de equivalência.[6]

Tipo de função Característica da função Conjunto imagem Explicação visual Exemplo Admite função inversa? É inversível?
Injetora ou injetiva Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando xy no domínio tem-se f(x)f(y) no contradomínio. Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função.
Funcao venn.svg
A função f: N \rightarrow N dada por f(x)=2x, é injetiva porque números distintos possuem dobros distintos. Não sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
Sobrejetora ou sobrejetiva Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Surjection.svg
A função f: R \rightarrow R dada por f(x)=x^2, não é sobrejetiva, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio. Não sempre, mas sempre admite inversa à direita.
Bijetora ou bijetiva São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio
Bijection.svg
A função f: N \rightarrow N dada por f(x)=x, é bijetiva porque é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Exemplo: função identidade Sim, sempre; imagem igual ao contradomínio vira domínio e vice-versa.

Funções implícitas e explicitas[editar | editar código-fonte]

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo:

f(x)=x^2

que associa a cada x o seu quadrado. Uma generalização direta é permitir funções que dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo:

g(x,y)=xy,

recebe dois números x e y e associa a eles o seu produto, xy. De acordo com o modo como uma função é especificada, ela é chamada de função explícita (como acima) ou de função implícita, como em

xf(x) = 1,

que define implicitamente a função

f(x)= \frac{1}{x}.

Composição de funções[editar | editar código-fonte]

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Por exemplo, dadas as funções:

f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1

uma função composta pode ser:

g(f(x)) = 2x + 2

Observa-se que f(x) transforma-se em variável de g(x). Ou seja, g(x)= ƒ(x)-1. Temos que, g(f(x)) = (2x+3)-1. Logo g(f(x)) = 2x+2. Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)), etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.[6]

Outras propriedades[editar | editar código-fonte]

Há muitas outras classes especiais de funções que são importantes em áreas ou aplicações específicas da matemática. Alguns desses tipos de funções são listados a seguir.

História[editar | editar código-fonte]

O uso de "função" como um termo matemático foi iniciado por Leibniz, em uma carta de 1673, para designar uma quantidade relacionada a uma curva, tal como a sua inclinação em um ponto específico. As funções que Leibniz considerou são atualmente chamadas de funções diferenciáveis. Em relação a este tipo de função, pode-se falar em limites e derivadas. Estes conceitos são medidas dos valores de saída ou de sua variação em relação aos valores de entrada, e formam a base do cálculo.

A palavra função foi, posteriormente, usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos. Com o tempo foi-se ampliando a definição de funções. Os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.

Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz. Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna. Na definição de Dirichlet, uma função é um caso especial de uma relação. Relação é um conjunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados. Nas relações não existem restrições quanto à lei de correspondência entre os elementos dos conjuntos, já para as funções é costume introduzir restrições. Na maioria dos casos de interesse prático, entretanto, as diferenças entre as definições moderna e de Euler são desprezáveis.

Referências

  1. STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 12.
  2. FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003. Página 16.
  3. a b STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
  4. a b FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003.
  5. a b c LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. página 13
  6. a b c d AUBYN, António St.; FIGUEREDO, Maria C.; LOURA, Luís de; RIBEIRO, Luisa; VIEGAS, Francisco. Funções.Lisboa, 2004.Dísponível em < http://math.tecnico.ulisboa.pt/textos/ppgmutlfuncoes.pdf>.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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