Função matricial

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Em matemática, uma função matricial é uma função cujo domínio são matrizes. O determinante, o traço e a exponencial matricial são exemplos de funções matriciais cujo domínio são as matrizes quadradas com imagem no números complexos.

O termo também pode ser usado para a generalização de uma função f de escalares, para uma função fM entre matrizes quadradas. Por exemplo, um polinômio p(x) leva naturalmente a uma função p de domínio no conjunto das matrizes quadradas de ordem nxn e contra-domínio no mesmo conjunto.

Polinômio matricial[editar | editar código-fonte]

Seja f(x) um polinômio na variável x definido por: f(x) = a_0 + \sum_{i=1}^{m}a_i x^i. Se A é uma matrix quadrada n\times n então f(A) é definido como: f(x) = a_0 I + \sum_{i=1}^{m}a_i A^i. onde I é a matriz identidade n\times n.

Fixando-se a matriz A, a função

\epsilon_A : K[x] \to M_{n \times n}

que leva cada polinômio p com coeficientes em K na matriz p(A) é um homomorfismo das álgebras. Em particular, é um homomorfismo de anéis, portanto o seu núcleo é um ideal de K[x].

A seguinte propriedade vale para qualquer polinômio p, quando a matriz A é um bloco de Jordan:

 p \left( \begin{bmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix}
\frac{p(\lambda)}{0!} & \frac{p'(\lambda)}{1!} & \frac{p''(\lambda)}{2!} & \ldots & \frac{p^{(n)}(\lambda)}{n!} \\
0 & \frac{p(\lambda)}{0!} & \frac{p'(\lambda)}{1!} & \ldots & \frac{p^{(n-1)}(\lambda)}{(n-1)!} \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 0 & \frac{p(\lambda)}{0!}
\end{bmatrix}.

Isto motiva a definição de f(A) para qualquer matriz A e qualquer função f para as quais as derivadas de ordem suficiente estão definidas nos auto-valores da matriz.

Calculo funcional[editar | editar código-fonte]

Se A é uma matriz auto-adjunta e P é um polinômio , então vale a igualdade:

  • \|P(A)\|=\sup_{\lambda\in\sigma(A)}|P(\lambda)|

aqui a norma matricial é a norma operacional euclidiana e \sigma(A) é conjunto de autovalores de A

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