Função multiplicativa

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Introdução[editar | editar código-fonte]

O conceito de função multiplicativa tem importância capital no desenvolvimento da teoria algébrica dos números, como o produto de Dirichlet, e na teoria analítica dos números, como nas séries de Dirichlet. Para avaliação de uma função multiplicativa basta conhecer seus valores em potências de primos[1] .


Definição[editar | editar código-fonte]

Uma função aritmética é uma função matemática cujo domínio de definição compreende os números inteiros positivos, isto é, os números naturais. Uma função aritmética não nula f é chamada de multiplicativa se


 f(mn) = f(m)f(n)


para todo par m e n de primos relativos (tais que mdc(m,n) = 1).[2] [Nota 1]


Uma função aritmética é denominada completamente multiplicativa quando a relação f(mn) = f(m)f(n) é válida para quaisquer naturais m e n. [2] Sendo este o caso, então, por exemplo, tem-se f2(n) = f(n2).


Exemplos triviais[editar | editar código-fonte]

  • A função 1(n) = 1 para todo número natural n, é uma função completamente multiplicativa. De fato, dados naturais a e b quaisquer, tem-se 1(ab) = 1 = 1 · 1 = 1(a1(b).


  • A função f(n) = c para todo natural n, em que c é uma constante diferente da unidade, não é multiplicativa. Dessa maneira, verifica-se facilmente que f(6) = cc2 = f(2)·f(3).


  • A função identidade I_D(n) = n é completamente multiplicativa, pois se n = ab, com a e b naturais quaisquer, então I_D(n) = n = ab = I_D(aI_D(b).


Exemplos não triviais[editar | editar código-fonte]

  • A função totiente de Euler \varphi(n) é uma função multiplicativa[1] [2] . Entretanto \varphi não é uma função completamente multiplicativa: dado um primo p arbitrário, \varphi(p2) = p(p - 1) ≠ (p - 1)2 = \varphi(p\varphi(p).


  • A função divisor \sigmak(n) também é função multiplicativa[1] [2] , mas não é completamente multiplicativa já que, por exemplo, para um primo p constata-se que \sigma(p2) = 1 + p + p2 ≠ 1 + 2p + p2 = ( 1 + p)(1 + p) = \sigma(p\sigma(p).


  • A função número de divisores D(n) é multiplicativa[2] (não poderia ser diferente, dado que D(n) = \sigma0(n), que é multiplicativa conforme o exemplo anterior). É fácil ver que D(n) não é completamente multiplicativa: D(2) = 2, D(4) = 3 e D(2)·D(2) ≠ D(4).


Teoremas[editar | editar código-fonte]

Teorema 1[editar | editar código-fonte]

Se f é uma função multiplicativa então   F(n) = \sum_{d|n} f(d)   também é uma função multiplicativa.

Demonstração[1] [editar | editar código-fonte]

Uma vez que todo divisor de mn pode ser expresso de modo único por meio do produto d1·d2, tal que d1|m e d2|n, com d1 e d2 relativamente primos, e como, por hipótese, f é multiplicativa, segue que



\begin{align}
\ F(mn) & = \sum_{d|mn} f(d)\\
& = \sum_{d_1 d_2|m n} f(d_1 d_2)\\
& = \sum_{\begin{matrix} ^{d_1|m} \\ ^{d_2|n} \end{matrix}} f(d_1)f(d_2)\\
& = \sum_{d_1|m} \sum_{d_2|n}f(d_1)f(d_2)\\
& = \sum_{d_1|m} f(d_1) \sum_{d_2|n}f(d_2)\\
& = F(m) F(n)
\end{align}


Como aplicação do teorema, pode-se provar que a função \sigma é multiplicativa (a extensão da prova para \sigmak com k qualquer não é complexa): definindo f como a função identidade, então (como já visto nos exemplos triviais acima) f é multiplicativa e segundo o teorema é também multiplicativa a função


 F(n) = \sum_{d|n} f(d) = \sum_{d|n} Id(d) = \sum_{d|n} d = \sigma(n)


O caso \sigma0(n) = \tau(n) também é simples: toma-se f(d) = 1 para todo divisor d de n e então


 F(n) = \sum_{d|n} f(d) = \sum_{d|n} 1(d) = \sum_{d|n} 1 = \sum_{d|n} d^0 = \sigma_0(n) = \tau(n)


Teorema 2[editar | editar código-fonte]

Se  f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} _+  é uma função completamente multiplicativa e monótona então existe  x \in \mathbb{R} _+  tal que  f(n) = n^x.

Demonstração[3] [editar | editar código-fonte]

Como f é por hipótese monótona, suponha f estritamente crescente (caso contrário, considere f^{-1}). Seja x = \log_2 f(2). Logo f(n) = n^x. Assim, para todo natural m tem-se


 2^{\lfloor m \log_2 n \rfloor} \le 2^n < 2^{\lceil m \log_2 n \rceil} \Rightarrow 2^{x \lfloor m \log_2 n \rfloor} \le \left( f(n) \right)^m < 2^{x \lceil m \log_2 n \rceil} \Rightarrow 2^{\frac{x \lfloor m \log_2 n \rfloor}{m}} \le f(n) < 2^{\frac{x \lceil m \log_2 n \rceil}{m}}


em que \lfloor \cdot \rfloor e \lceil \cdot \rceil são respectivamente a função chão e a função teto. Além disso, como


 \lim_{m \to \infty} \frac{x \lfloor m \log_2 n \rfloor}{m} = \lim_{m \to \infty} \frac{x \lceil m \log_2 n \rceil}{m} = x \log_2 n,


segue finalmente que


 f(n) = 2^{x \log_2 n} = n^x.

Ligações Externas[editar | editar código-fonte]



Notas e referências

Notas

  1. No texto Applied Abstract Algebra, a função é definida com domínio no conjunto dos números naturais e contradomínio no conjunto dos números complexos, porém o conceito pode ser generalizado para funções com domínio no conjunto dos números inteiros e contradomínio em qualquer grupo multiplicativo, como por exemplo um conjunto de matrizes.

Referências

  1. a b c d SANTOS, José P. de O.; Coleção Matemática Universitária: Introdução à Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2006
  2. a b c d e Nikos Drakos e Ross Moore, Applied Abstract Algebra, Multiplicative Functions [em linha]
  3. Martinez, Fabio B., et al; Projeto Euclides: Teoria dos Números - um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Rio de Janeiro: IMPA, 2010
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