Função multivalorada

Este diagrama não representa uma função, mas uma função multivalorada, pois o elemento 3 em X está associado a dois elementos b e c, em Y.

Em matemática, uma função multivalorada, multívoca, polídroma, multifunção, multiaplicação ou correspondência é uma relação binária que associa cada elemento do domínio a algum elemento do contradomínio, isso é:

$\forall a \in A \quad \exist b \in B \quad a\,R\,b$

Note que uma relação binária é uma função multivalorada se e somente se é uma relação total. Note também que toda função é multivalorada.

Outra forma de entender este conceito é como uma função $F \colon A \rightsquigarrow B\,$ que toma vários valores em B para cada ponto de A.

Uma função multivalorada de A em B pode ser representada por uma função de A no conjunto de partes de B, isto é, cada elemento de A é associado a um subconjunto não vazio de B. No exemplo abaixo, a função $f$ representa os elementos $b$ do codomínio $B$ aos quais cada elemento $a$ do domínio $A$ é relacionado pela multifunção $R$.

$f: A \to \wp B \quad:\quad \forall a \in A. \quad f(a) = \left\{ b \in B \,:\, a\,R\,b \right\}$

Toda valoração de $f$ será um conjunto não-nulo.

Exemplos

• Todo número real ou número complexo, com exceção do zero, tem duas raízes quadradas. Todo número complexo tem 3 raízes cúbicas complexas.

• Funções trigonométricas inversas têm valores múltiplos porque funções trigonométricas são periódicas. Temos tan(π/4) = tan(5π/4) = tan(−3π/4). Consequentemente podemos pensar que arctan(1) tem valores múltiplos como π/4, 5π/4 e −3π/4 radianos, entre outros.