Função quadrática

$f(x) = x^2 - x - 2$

Em matemática, uma função quadrática é uma função polinomial da forma:

$f(x)=ax^2+bx+c$

se, e somente se a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo maior eixo é paralelo ao eixo y, se tal função for contínua. A expressão:

$ax^2+bx+c$

na definição de uma função quadrática é um polinômio de segundo grau ou um polinômio de grau 2, porque o maior expoente de $x$ é 2.

Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x.

Raízes

Ver artigo principal: Equação quadrática

As raízes da função quadrática são os valores de x cuja imagem é 0, ou seja, em que o gráfico corta o "eixo x". O número de raízes depende do valor do discriminante, geralmente denotado pela letra grega delta, definido por:

$\Delta = b^2 - 4 a c$

Para:

• $\Delta > 0,$ a função terá duas raízes.
• $\Delta = 0,$ a equação terá uma raiz apenas (com maior precisão, diz-se que a equação tem duas raízes iguais)
• $\Delta < 0,$ não terá raíz (com maior precisão, diz-se que a equação não tem raíz reais, tendo duas raízes complexos conjugados).

As duas raízes da equação quadrática $0=ax^2+bx+c,$ onde $a \ne 0$ são

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.$

Essa fórmula é chamada de Fórmula de Bhaskara.

• Dado $\Delta = b^2-4ac$
• Se $\Delta > 0$, então existem duas raízes distintas uma vez que $\sqrt{\Delta}$ é um número real positivo.
• Se $\Delta = 0,$ então as duas raízes são iguais, uma vez que $\sqrt{\Delta}$ é igual a zero.
• Se $\Delta < 0,$ então as duas raízes são números complexos conjugados, uma vez que $\sqrt{\Delta}$ é imaginário.

Efetuando $r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ e $r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ ou vice versa, é possível fatorar $a x^2 + b x + c$ como $a(x - r_1)(x - r_2).$

Concavidade do gráfico da função quadrática

A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja, positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.

Vértice da parábola

O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:

$(X_\text{vertice}= -\frac{b}{2a}, Y_\text{vertice}= -\frac {\Delta}{4a})$

Crescimento e decrescimento de uma função quadrática

Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente.

• Concavidade voltada para cima:
  • Decrescente do -infinito ao vértice
  • Crescente do vértice ao infinito
• Concavidade voltada para baixo:
  • Crescente do -infinito ao vértice
  • Decrescente do vértice ao infinito

Formas da função quadrática

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

• $f(x) = a x^2 + b x + c$ é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
• $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$ é chamada a forma fatorada, onde $r_1$ e $r_2$ são as raízes da equação quadrática, e
• $f(x) = a(x - h)^2 + k$ é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).

Para converter a forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a fórmula quadrática e encontrar as raízes $r_1$ e $r_2 .$ Para converter a forma geral para a forma padrão é necessário usar o processo de completar o quadrado. Para converter a forma fatorada (ou padrão) para a forma geral, é necessário multiplicar, expandir e/ou distribuir os fatores.

Gráfico

$f(x) = ax^2 + x ,$$a=\{0.1,0.3,1,3\}$

$f(x) = x^2 + bx,$ $b=\{1,2,3,4\}$

$f(x) = x^2 + bx,$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}$

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola (como mostrado abaixo).

• Se $a > 0,$ a parábola abre para cima.
• Se $a < 0,$ a parábola abre para baixo.

O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice. Números positivos grandes para a fazem a imagem de x aumentar mais rápido, fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra".

O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).

O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.

O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

Vértice

O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point. Se a função estiver na forma padrão, o vértice é dado por $(h, k).$ Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral:

$f(x) = a x^2 + b x + c$

em

$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} ,$

de forma que o vértice da parábola na forma geral seja:

$\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right).$

Se a função quadrática estiver na forma fatorada:

$f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$

a média aritmética da duas raízes, isto é:

$\frac{r_1 + r_2}{2}$

fornece a coordenada x do vértice, e assim o vértice é dado por:

$\left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).$

O vértice é também o ponto máximo se $a < 0$ ou o ponto mínimo se:

$a > 0.$

A linha vertical:

$x=h=-\frac{b}{2a}$

que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria da parábola.

• Pontos de máximo/mínimo

O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma ideia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.

Tomando $f(x) = ax^2 + bx + c$ como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de $a,$ se $a > 0,$ tem um ponto mínimo, se $a < 0,$ tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:

$f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow$$f'(x)=2ax+b$

Depois, encontramos as raízes de $f'(x):$

$2ax+b=0 \Rightarrow$ $2ax=-b \Rightarrow$ $x=-\frac{b}{2a}$

Então, $-\frac{b} {2a}$ é o $x$ valor de $f(x).$ Agora, para encontrar o valor de $y,$ substituimos $x = -\frac{b} {2a}$ em $f(x):$

$y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow$

$y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}$

Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:

$\left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right).$

Estudo do sinal

Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de $x$

O estudo do sinal da função quadrática define o sinal da função para qualquer valor de $x.$ O estudo depende do sinal do coeficiente $a$ e do $\Delta.$ Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.

Caso Δ < 0

Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das absissas. Portanto:

$a > 0 \rightarrow f(x) > 0, \forall x \in R$

$a < 0 \rightarrow f(x) < 0, \forall x \in R$

Caso Δ = 0

Exemplo de uma função negativa para $x \ne r_1 = r_2$ e nula para $x = r_1 = r_2$

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente $a$ e das raízes $r_1$ e $r_2$ (note que $r_1 < r_2$):

• $a > 0$

$f(x) > 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2$

$f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2$

• $a < 0$

$f(x) < 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2$

$f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2$

Caso Δ > 0

Exemplo de uma função positiva para $x < r_1$ ou $x > r_2;$ nula para $x = r_1 = r_2$ e negativa para $r_1 < x < r_2.$

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente $a$ (note novamente que $r_1 < r_2$):

• $a > 0$

$f(x) > 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2$

$f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2$

$f(x) < 0 \rightarrow r_1 < x < r_2$

• $a < 0$

$f(x) > 0 \rightarrow r_1 < x < r_2$

$f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2$

$f(x) < 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2$

Raiz quadrada de uma função quadrática

A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se $a>0$ então a equação $y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$ descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente $y_p = a x^2 + b x + c$
Se a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se $a<0$ então a equação $y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$ descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente $y_p = a x^2 + b x + c$ for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.

Função quadrática bivariada

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

$f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F$

Tal função descreve uma superfície quadrática. Fazendo $f(x,y)$ igual a zero, é descrita a intersecção da superfície com o plano $z=0,$ que é um locus de pontos equivalente a uma secção cônica.

Mínimo/máximo

Se $4AB-E^2 <0$ a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

Se $4AB-E^2 >0$ a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.

O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de $(x_m, y_m)$ onde:

$x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}$

$y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}$

Se $4AB- E^2 =0$ e $DE-2CB=2AD-CE \ne 0$ a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Se $4AB- E^2 =0$ e $DE-2CB=2AD-CE =0$ a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Ver também

• Forma quadrática
• Representação matricial de secções cônicas
• Quádrica
• Pontos periódicos de mapeamentos quadráticos complexos

Ligações externas

• Quadraticem MathWorld. ((en))