Função quadrática

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Antistub.png
Este artigo está em manutenção emergencial a fim de evitar uma futura eliminação. Ajude a corrigir imprecisões no texto e colocar fontes que atestem sua relevância. Se você se dispõe a melhorar este artigo e quer um tempo para fazê-lo comente aqui para evitar uma futura eliminação.
Question book.svg
Esta página ou se(c)ção não cita fontes fiáveis e independentes (desde setembro de 2011). Por favor, adicione referências e insira-as no texto ou no rodapé, conforme o livro de estilo. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
f(x) = x^2 - x - 2

Em matemática, uma função quadrática é uma função polinomial da forma:

f(x)=ax^2+bx+c

se, e somente se a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo maior eixo é paralelo ao eixo y, se tal função for contínua. A expressão:

ax^2+bx+c

na definição de uma função quadrática é um polinômio de segundo grau ou um polinômio de grau 2, porque o maior expoente de x é 2.

Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x.

Raízes[editar | editar código-fonte]

As raízes da função quadrática são os valores de x cuja imagem é 0, ou seja, em que o gráfico corta o "eixo x". O número de raízes depende do valor do discriminante, geralmente denotado pela letra grega delta, definido por:

\Delta = b^2 - 4 a c

Para:

  • \Delta > 0, a função terá duas raízes.
  • \Delta = 0, a equação terá uma raiz apenas (com maior precisão, diz-se que a equação tem duas raízes iguais)
  • \Delta < 0, não terá raíz (com maior precisão, diz-se que a equação não tem raízes reais, tendo duas raízes complexos conjugados).

As duas raízes da equação quadrática 0=ax^2+bx+c, onde a \ne 0 são

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.

Essa fórmula é chamada de Fórmula Quadrática.

Efetuando  r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} e  r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} ou vice versa, é possível fatorar  a x^2 + b x + c como  a(x - r_1)(x - r_2).

Concavidade do gráfico da função quadrática[editar | editar código-fonte]

A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja, positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.

Vértice da parábola[editar | editar código-fonte]

O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:

(X_\text{vertice}= -\frac{b}{2a}, Y_\text{vertice}= -\frac {\Delta}{4a})

Crescimento e decrescimento de uma função quadrática[editar | editar código-fonte]

Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente.

  • Concavidade voltada para cima:
    • Decrescente do -infinito ao vértice
    • Crescente do vértice ao infinito
  • Concavidade voltada para baixo:
    • Crescente do -infinito ao vértice
    • Decrescente do vértice ao infinito

Formas da função quadrática[editar | editar código-fonte]

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

  • f(x) = a x^2 + b x + c é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
  • f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) é chamada a forma fatorada, onde  r_1 e  r_2 são as raízes da equação quadrática, e
  • f(x) = a(x - h)^2 + k é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).

Para converter a forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a fórmula quadrática e encontrar as raízes  r_1 e  r_2 . Para converter a forma geral para a forma padrão é necessário usar o processo de completar o quadrado. Para converter a forma fatorada (ou padrão) para a forma geral, é necessário multiplicar, expandir e/ou distribuir os fatores.

Gráfico[editar | editar código-fonte]

f(x) = ax^2 + x ,a=\{0.1,0.3,1,3\}
f(x) = x^2 + bx, b=\{1,2,3,4\}
f(x) = x^2 + bx, b=\{-1,-2,-3,-4\}

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola (como mostrado abaixo).

  • Se a > 0, a parábola abre para cima.
  • Se a < 0, a parábola abre para baixo.

O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice. Números positivos grandes para a fazem a imagem de x aumentar mais rápido, fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra".

O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).

O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.

O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

Vértice[editar | editar código-fonte]

O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point. Se a função estiver na forma padrão, o vértice é dado por (h, k). Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral:

f(x) = a x^2 + b x + c

em

 f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} ,

de forma que o vértice da parábola na forma geral seja:

 \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right).

Se a função quadrática estiver na forma fatorada:

f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)

a média aritmética da duas raízes, isto é:

\frac{r_1 + r_2}{2}

fornece a coordenada x do vértice, e assim o vértice é dado por:

 \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).

O vértice é também o ponto máximo se a < 0 ou o ponto mínimo se:

a > 0.

A linha vertical:

 x=h=-\frac{b}{2a}

que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria da parábola.

  • Pontos de máximo/mínimo
O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma ideia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.
Tomando f(x) = ax^2 + bx + c como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de a, se a > 0, tem um ponto mínimo, se a < 0, tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:
f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrowf'(x)=2ax+b
Depois, encontramos as raízes de f'(x):
2ax+b=0 \Rightarrow 2ax=-b \Rightarrow x=-\frac{b}{2a}
Então, -\frac{b} {2a} é o x valor de f(x). Agora, para encontrar o valor de y, substituimos x = -\frac{b} {2a} em f(x):
y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a}  - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow
y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}
Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:
 \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right).

Estudo do sinal[editar | editar código-fonte]

Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de x

O estudo do sinal da função quadrática define o sinal da função para qualquer valor de x. O estudo depende do sinal do coeficiente a e do \Delta. Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.

Caso Δ < 0[editar | editar código-fonte]

Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das abscissas. Portanto:

a > 0 \rightarrow f(x) > 0, \forall x \in R

a < 0 \rightarrow f(x) < 0, \forall x \in R

Caso Δ = 0[editar | editar código-fonte]

Exemplo de uma função negativa para x \ne r_1 = r_2 e nula para x = r_1 = r_2

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das abscissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a e das raízes r_1 e r_2 (note que r_1 < r_2):

  • a > 0

f(x) > 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2

f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2

  • a < 0

f(x) < 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2

f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2

Caso Δ > 0[editar | editar código-fonte]

Exemplo de uma função positiva para x < r_1 ou x > r_2; nula para x = r_1 = r_2 e negativa para r_1 < x < r_2.

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das abscissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a (note novamente que r_1 < r_2):

  • a > 0

f(x) > 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2

f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2

f(x) < 0 \rightarrow r_1 < x < r_2

  • a < 0

f(x) > 0 \rightarrow r_1 < x < r_2

f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2

f(x) < 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2

Raiz quadrada de uma função quadrática[editar | editar código-fonte]

A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se a>0 então a equação  y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente  y_p = a x^2 + b x + c
Se a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se a<0 então a equação  y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente  y_p = a x^2 + b x + c for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.

Função quadrática bivariada[editar | editar código-fonte]

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

 f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F

Tal função descreve uma superfície quadrática. Fazendo f(x,y) igual a zero, é descrita a intersecção da superfície com o plano z=0, que é um locus de pontos equivalente a uma secção cônica.

Mínimo/máximo[editar | editar código-fonte]

Se  4AB-E^2 <0 a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

Se  4AB-E^2 >0 a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.

O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de  (x_m, y_m) onde:

x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}
y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}

Se  4AB- E^2 =0 e  DE-2CB=2AD-CE \ne 0 a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Se  4AB- E^2 =0 e  DE-2CB=2AD-CE =0 a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]